L'integrazione delle funzioni trigonometriche è un fiocco di problemi data agli studenti di calcolo. Trigonometriche integrazione si basa sull'ampia gamma di identità trigonometriche che sono disponibili per lo studente. Conoscendo le proprietà da utilizzare farà il calcolo dell'integrazione---anche poteri di seno e coseno---semplice.
Istruzioni
• Trasformare la funzione integranda in termini di seno o coseno, utilizzando l'identità di Pitagora. L'identità di Pitagora afferma che sin^2(x) + cos^2(x) = 1.
Se la funzione integranda contiene potenze di seno ed il coseno, allora sin^m(x)cos^n(x) può essere scritto come sin^{2k}(x)cos^n(x) = cos^n(x) (1 - cos^2(x)) ^ k. Quindi l'elevamento a potenza può essere espansa in una somma di poteri anche dei coseni. Ad esempio, se la funzione integranda è sin^4(x)cos^4(x), l'identità di Pythagorean produce cos^4(x) (1 - cos^2(x)) ^ 2 = cos^4(x) (1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) = cos^4(x) - 2cos^6(x) + cos^8(x).
• Utilizzare una tecnica di integrazione riduzione di potenza per far cadere il potere di ogni termine. Queste identità affermano che per un n anche potenza, l'integrale di sin^n(x), Int{sin^n(x)} è:
int{sin^n(x)} = -sin ^(n-1) (x), cos (x) /n + (n - 1) / n * int {peccato ^(n-2)(x)}
e per il coseno:
int{cos^n(x)} = cos ^ (n - 1)(x)sin(x)/n + (n - 1) /n * int {cos ^(n-2)(x)}
Utilizzare queste identità per portare i poteri verso il basso per un integrale di cos^2(x) o sin^2(x). Nel nostro esempio precedente, l'integrazione del secondo termine di-2cos^6(x) può essere ridotto a:
int{-2cos^6(x)} =-2[cos^5(x)sin(x) / 6 + 5 / 6 int{cos^4(x)}] =-2[cos^5(x)sin(x) / 6 + 5 / 6 (cos^3(x)sin(x) / 4 + 3 / 4 int{cos^2(x)})] =-cos^5(x)sin(x) / 3-5 / 12 cos^3(x)sin(x) - 15 / 12 * int{cos^2(x)}.
• Utilizzare la riduzione di potenza doppio angolo. La riduzione di potenza doppia angolazione afferma che sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2 e cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2. Questi sostituirà il finale cos ^ 2 o sin ^ 2 nella catena di integrazione di cui sopra. Una volta entrato, l'integrale sarà semplice da eseguire:
int{cos^2(x)} = int {(1 + cos(2x))/2} = (2 x + sin(2x)) / 4 e int{sin^2(x)} = int {(1 - cos(2x))/2} = (2x - sin(2x)) / 4.
Nel nostro esempio sopra per - 2cos^6(x), quindi
int{-2cos^6(x)} =-cos^5(x)sin(x) / 3-5 / 12 cos^3(x)sin(x) - 15 / 48 sin(2x) - 15 / 24 * 2 x,
con l'aggiunta di una costante di integrazione. Le altre condizioni dell'originale integrale possono essere gestite allo stesso modo, e l'equazione finale può essere raggiunto.
• Combinare i termini e applicare limiti di integrazione. A questo punto, si dovrebbe avere una lunga stringa di termini nel processo di integrazione. Termini comuni vengono utilizzati per combinare i vari elementi della somma al fine di semplificare l'integrazione. Se non ci sono limiti all'integrazione, quindi applicarle per semplificare in un unico risultato numerico. Se non ci sono limiti, quindi lasciare l'equazione come è e aggiungere un + C al fine di considerare la costante di integrazione.
Consigli & Avvertenze
- Assicurarsi di gestire ogni termine separatamente e con attenzione. Come crescono i poteri di seno e coseno, così sarà il numero di singoli termini di integrare.