Come dimostrare la Formula per il Volume di parallelepipedi

07/01/2015 by admin

In matematica, il termine "Parallelepipedo" ha poche definizioni diverse. Generalmente, il termine si riferisce ad un solido con sei facce piane, otto vertici e 12 spigoli. Una piramide a base quadrata con il relativo apex tagliato è un esempio. Il termine "Parallelepipedo" spesso si riferisce a una classe più stretta dei solidi, tuttavia, con tutti i fronte facce parallele - chiamato un "Parallelepipedo". Se tutte le facce adiacenti si incontrano ad angolo retto, la figura è un "parallelepipedo giusto." A causa della varietà di forme, esiste una formula unica copre tutti i parallelepipedi; Tuttavia, si può risolvere per il volume di forme specifiche di cuboide usando calcolo, vettore o argomenti trigonometrici.

Istruzioni

Approccio di vettore: Parallelepipedo

• Indicare tre lati adiacenti riuniti in uno degli angoli di parallelepipedo come i tre vettori \"a\", \"b\"e \"c\". Indicare loro lunghezze \"A\", \"B\"e \"C\". Indicare l'angolo tra \"a\" e \"b\" come \ "? \" (alfa), l'angolo tra \"b\" e \"c\" come \ "? \" (beta) e l'angolo tra \"c\" e \"a\" come \ "? \" (gamma).

• Orientare il parallelepipedo (se solo nella tua mente) così il volto delimitata da \"a\" e \"b\" è sul fondo. Utilizzando l'aritmetica vettoriale standard, prendere il prodotto incrociato di \"a\"e \"b\". Il prodotto risultante di croce è il vettore perpendicolare alla faccia che i vettori la \"a\" e \"b\" confine. La lunghezza del vettore risultante è uguale all'area della faccia inferiore. Il motivo è perché la grandezza del prodotto incrociato è uguale a \"AB peccato? \", per la definizione del prodotto incrociato. Poiché la forma del parallelepipedo è che lo stesso dal fondo affrontare tutta la strada fino alla cima, avete lasciato solo per moltiplicare l'altezza per la zona della faccia inferiore.

• Identificare l'altezza del parallelepipedo e moltiplicarlo per l'area della base. Il risultato è il volume del parallelepipedo. In altre parole, la formula per il volume di un parallelepipedo è la superficie di base volte l'altezza. Questo è lo stesso come eseguendo il prodotto scalare di \"c\" e il prodotto incrociato di \"a\"e \"b\". Questo è vero perché il prodotto scalare è, per definizione, la lunghezza del \"c\" volte la lunghezza del prodotto incrociato di \"a\" e \"b\" volte il coseno di \ "? \". Qui, \ "? \" è l'angolo tra \"c\" e il vettore perpendicolare alla faccia inferiore. In altre parole, \"c cos? \" è l'altezza del parallelepipedo. Quindi il volume è \"c(axb) \", se \ "\" sta per il prodotto scalare. Se non si conosce l'altezza, ma sapere lunghezze \"A\", \"B\"e \"C\" e il \ angoli "? \", \ "? \" e \ "? \", quindi procedere alla sezione successiva.

Trigonometrica approccio: Parallelepipedo

• Risolvere per l'angolo sconosciuto \ "? \" quando non si hanno i lati di delimitazione in forma vettoriale prima ricordando l'identità trigonometrica cx(axb) = a(cb)-b(ca).

• Scrivere la grandezza del lato sinistro dell'equazione come (ABsin?) C peccato?. Ora un lato dell'equazione può essere scritta in termini di \ "? \". Così alla fine si può risolvere per \"cos? \".

• Prendere il prodotto scalare tra il vettore a(cb)-b(ca) con se stesso. Questo viene fuori per essere (aCB cos?-bCA cos?) (aCB cos?-bCA cos?), o (ABC) ^ 2 [cos(2)? - 2 cos? cos? cos? + cos(2)?] (Ricordiamo che unun = A ^ 2 e un * b = AB cos?.) Qui, cos(2)? mezzi (cos?) ^ 2. Questo risultato è uguale al quadrato della grandezza del lato destro dell'equazione nel passaggio 1.

• Piazza il risultato del passaggio 2 per collegarlo con il passaggio 3. Eliminare (ABC) ^ 2 prima per comodità. Pertanto, sin(2)? sin(2)? = cos(2)? -2 cos? cos? cos? + cos(2)?.

• Scrivere \"sin? \" in termini di \"cos? \", dal peccato di ABC? cos? è il volume che si desidera risolvere per. Così, sin(2)? [1-cos(2)?] = cos(2)? -2 cos? cos? cos? + cos(2)?.

• Risolvere per \"sin? cos? \ "come segue:sin(2)? cos(2)? = sin(2)? -cos(2)? + 2 cos? cos? cos? -cos(2)? = 1 - cos(2)? -cos(2)? + 2 cos? cos? cos? -cos(2)?.Pertanto, la formula finale per il volume di un parallelepipedo è:ABC? [1 - cos(2)? - cos(2)? - cos(2)? + 2 cos? cos? cos?].

Approccio di calcolo: Tronco di piramide quadrato

• Determinare se il calcolo sarebbe un utile approccio decidendo se la figura possa essere tagliata in wafer sottili, ciascuno con la stessa forma. Ad esempio, una piramide a base quadrata con la punta superiore tagliata..--lasciando una superficie parallela alla faccia inferiore - è una pila di piazze sottile. La forma è costante, anche se la dimensione varia.

• Indicare la larghezza della base del tronco piramide \"B\" e top larghezza \"T\". Indicare l'altezza \"H\". Allora l'integrale di volume della figura è? x ^ 2 dy, dove \"x\" è la larghezza variabile delle piazze, \"dy\" è l'altezza differenziale delle piazze e il rapporto tra le due variabili è y = H - H (x-T)/(B-T). Si può vedere questo perché i lati di una piramide sono lineari, quindi si applica un'equazione lineare. Inoltre, quando \"x\"is \"B\", \"y\"deve essere \"0\". Quando \"x\"is \"T\", \"y\"deve essere \"H\".

• Scrivere l'integrale? x ^ 2 dy in termini di una variabile:DY è uguale a - dx H/(B-T).Il negativo verrà fuori nel lavaggio su integrazione da x = B a x = T, che è più piccolo.

• Prendere l'integrale. Ricordiamo che gli integrali sono prodotti dell'integrando volte la larghezza differenziale. Prendendo l'integrale di un polinomio come x ^ 2 è una semplice questione di aggiungere 1 all'esponente, quindi dividendo per il nuovo esponente. Successivamente, collegare i due endpoint, \"B\"e \"T\" e prendere la differenza tra i due di loro. In altre parole, il risultato è [-H/(B-T)] [(T) ^ 3/3 - (B) ^ 3/3], o H/(B-T) [(B) ^ 3/3 - (T) ^ 3/3].

Consigli & Avvertenze