Le leggi di Newton del moto ha cambiato la percezione umana dell'universo, da uno in cui una sfera celeste insondabile dominava il mondo di terrene in un luogo governato dalle stesse leggi universali ovunque. Come descritto, ad esempio, nel saggio di George Smith "Di Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", le leggi di Newton generalmente raccolti e codificati principi che erano già conosciuti..--ma erano intuizioni basate sull'osservazione e logica e non erano "derivati" nel senso comune della parola. Tuttavia, a seguito di esempi come quella data da Tom Kirchner nelle sue note per classe di meccanica classica dell'Università di York, è possibile derivare le equazioni di Newton del moto da principio di Hamilton di minima azione.
Istruzioni
Stabilire un quadro per la derivazione
• Costruire la lagrangiana. L'integrale della Lagrangiana nel corso del tempo è il "azione", che deve essere ridotto al minimo, compatibilmente con il principio di Hamilton.
La lagrangiana è definita come l'energia cinetica meno l'energia potenziale, in genere espresso come L = T - U.
• Calcolare l'equazione che soddisfa la condizione di minimizzazione.
La derivazione della condizione minimizzazione può essere trovata..--tra molti altri luoghi..--nelle note dei Professor Frank Wolfs per classe di meccanica classica dell'Università di Rochester. La condizione di minimizzazione è d/dt(∂L/∂xdot) - ∂L/∂ = 0, dove xdot è il derivato di tempo della funzione x (t), chiamato anche la velocità.
• Costruire le equazioni del moto per le condizioni specifiche.
Equazione del moto con nessuna forza esterna..--prima legge di Newton
•
Calcolare l'energia cinetica e potenziale per un punto di massa.
In una dimensione, l'energia cinetica è dato da T = (1/2) m (xdot) ^ 2 e senza forze esterne, l'energia potenziale, U, è pari a zero.
• Costruire la lagrangiana.
Per questa situazione, T - U = (1/2) m (xdot) ^ 2-0 = (1/2) m (xdot) ^ 2
• Calcolare i termini nella condizione di minimizzazione.
d/DT(∂L/∂xdot) = d/dt(∂((1/2)m(xdot)^2)/∂xdot)) = m * xdoubledot, dove xdoubledot è la derivata seconda di x (t) rispetto al tempo, più comunemente chiamato l'accelerazione e ∂L/∂ = 0, come non ci sono termini dipendente da x.
• Costruire la condizione di minimizzazione.
d/DT(∂L/∂xdot) - ∂L/∂ = m * xdoubledot = 0
• Integrare l'equazione rispetto al tempo.
Finiamo con l'equazione x (t) = v0 * t + x 0, che dice la posizione del punto di massa è la posizione dove è iniziato, più il tasso al quale si sta muovendo sempre quanto tempo esso si sta muovendo. Questo è lo stesso come prima legge di Newton, affermando che se non ci sono nessuna forza, un corpo a riposo rimane a riposo e mantiene un corpo in movimento che il movimento stesso.
Equazione del moto con una forza conservatrice esterna..--seconda legge di Newton
• Calcolare l'energia cinetica e potenziale per un punto di massa.
In una dimensione, l'energia cinetica è dato da T = (1/2) m (xdot) ^ 2, mentre l'energia potenziale è U(x), che rappresenta una forza che può trasferire l'energia al punto di massa.
• Costruire la lagrangiana.
Per questa situazione, T - U = (1/2) m (xdot) ^ 2 - U(x).
• Calcolare i termini nella condizione di minimizzazione.
d/DT(∂L/∂xdot) = d/dt(∂((1/2)m(xdot)^2)/∂xdot)) = m * xdoubledot e ∂L/∂ = - ∂U/∂. Una forza conservatrice, una forza che non è attrito, è dato dall'espressione F = - ∂U/∂, così ∂L/∂ = F.
• Costruire la condizione di minimizzazione.
d/DT(∂L/∂xdot) - ∂L/∂ = m * xdoubledot -F = 0.
• Riorganizzare l'equazione.
F = m * xdoubledot, o, sostituendo la lettera a, per l'accelerazione, per xdoubledot, F = ma, che è la formulazione usuale per la seconda legge di Newton.
Consigli & Avvertenze
- Terza legge di Newton, affermando che per ogni azione c'è un piano di parità e reazione, di fronte ha una rappresentazione matematica, ma non tradurre direttamente in qualsiasi equazione di movimento che può essere derivato.