Per più di 2.000 anni, la frase "Geometria euclidea" era ridondante, perché non c'era nessuna altra geometria. Fu solo nel XIX secolo che matematici infine osato esplorare le diverse idee geometriche. La geometria euclidea è basata su cinque postulati, o assiomi e costruisce l'intero sistema geometrico sul quadro di questi cinque postulati. Geometrie non euclidee accettano i primi quattro di questi, ma cambiare il quinto postulato per costruire geometrie interamente coerente (anche se non intuitivo).
I primi quattro postulati
Euclide utilizzati solo i primi quattro postulati per i primi 28 proposizioni dei suoi elementi. Tuttavia, ha bisogno un quinto postulato per andare più in là, così ha creato un ulteriore postulato che non potrebbe essere derivato da altri quattro postulati. Per secoli, i matematici successivi provato, ma non è riuscito a dimostrare il quinto postulato in base ai primi quattro.
I primi quattro postulati sono che due punti qualsiasi possono essere Uniti con una linea retta, qualsiasi segmento di linea retta può essere esteso indefinitamente in una linea retta, può essere tracciato un cerchio avente un endpoint per centro e il segmento come raggio (dato qualsiasi segmento di linea retta) e va bene angoli sono congruenti.
Il quinto postulato
I primi quattro postulati sono semplici e sembrano così intuitivi da essere praticamente ovvia. Il quinto postulato si distingue in contrasto. La sua formulazione originale era che se una linea retta interseca due rette per rendere gli angoli interni su un lato di aggiungere fino a meno di due angoli retti, le due linee rette, se esteso, intersecherà un l'altro su quel lato. Geometria euclidea moderna utilizza un postulato più semplice ma tutto equivalente: «Attraverso qualsiasi punto non su una determinata riga esiste esattamente una linea parallela alla retta indicata.» Geometria sferica sostituisce il quinto postulato con "attraverso qualsiasi punto non su una determinata linea, non esiste nessun linee parallele alla retta indicata."
Triangoli
Quando i matematici ha cominciato ad esplorare le ramificazioni di sostituendo il quinto postulato originale con la versione modificata per la geometria sferica, non hanno trovato incoerenze interne. Più precisamente, alcuni matematici trovato incongruenze, ma si è scoperto che il loro ragionamento era difettoso. La nuova geometria era coerente, ma in conflitto con le loro idee intuitive sullo spazio. Una delle cose dispari circa la nuova geometria in questione triangoli. Nelle geometrie Euclide sia sferiche, la somma degli angoli interni di un triangolo non può essere inferiore a 180 gradi. Nella geometria euclidea, la somma è sempre 180 gradi esattamente. In geometria sferica, la somma è sempre maggiore di 180 gradi.
Applicazioni
Geometrie sia Euclide e non-Euclide sono molto utili. Gli sviluppatori di geometria sferica stavano esplorando idee in matematica pura, ma una domanda ovvia era letteralmente sotto il loro naso, cioè, il pianeta terra è essenzialmente sferico e la geometria euclidea, mentre utile su piccola scala del globo, cade a pezzi su larga scala. Per dimostrare questo, camminare Nord da un certo punto sull'equatore fino a colpire il Polo Nord. Ruotare di 90 gradi a destra e continuate a camminare fino a colpire ancora una volta l'equatore. Ruotare di 90 gradi e camminare a destra di nuovo fino a raggiungere il punto di partenza. Appena tracciato un triangolo con tre angoli retti. Non puoi farlo nello spazio euclideo.