Un oscillatore armonico viene sottoposto a movimenti ripetitivi su una posizione di equilibrio a causa di una forza che ripristina l'oscillatore a quella posizione di equilibrio. Mentre l'oscillatore armonico è un sistema comunemente studiato in meccanica classica, c'è anche un sistema analogo in meccanica quantistica chiamata oscillatore armonico quantistico. Questo sistema richiede diversi metodi matematici per lo studio, compreso l'uso di due concetti da algebra lineare chiamato autofunzioni e autovalori.
Oscillatore armonico quantistico
Oscillatore armonico quantistico è descritto dall'equazione di Schrodinger con il potenziale nell'equazione prendendo la forma della classica molla potenziale. Risolvendo l'equazione di Schrodinger di questa forma dà un numero di soluzioni che corrispondono a differenti livelli di energia quantizzati, o autovalori. Questo comportamento differisce dalla soluzione classica di un oscillatore armonico, come l'energia di un oscillatore classico esiste su uno spettro continuo, mentre l'energia dell'oscillatore di quantum è discreta.
Soluzioni di oscillatore armonico quantistico
L'equazione di Schrodinger descrive il movimento di particelle quantistiche attraverso una funzione conosciuta come la funzione d'onda. Soluzioni dell'equazione di Schrodinger descrivono il moto per un caso particolare, come l'oscillatore armonico. Queste soluzioni dell'equazione di Schrodinger sono chiamate autofunzioni, e questi autofunzioni sono come vengono estratti i livelli di energia dell'oscillatore armonico.
Oscillatore armonico autofunzioni
Autofunzioni dell'oscillatore armonico quantistico hanno la forma generale di una funzione gaussiana, che ha forma y = C exp(-ax^2), dove "exp" si riferisce alla funzione esponenziale, "a" è una costante nota, "C" è una costante sconosciuta e "y" è la funzione d'onda. La costante "C" possa essere normalizzata per trovare una soluzione generale. Questa costante normalizzata varia a seconda del livello di energia ed è dato da che cosa sono conosciuti come polinomi di Hermite.
Polinomi di Hermite
Per ogni livello di energia dell'oscillatore armonico, la costante di normalizzazione dell'autofunzione avrà un valore diverso. Questi valori sono descritti da che cosa sono conosciuti come polinomi di Hermite, che è una sequenza comune di polinomi che presenta frequentemente nella scienza e nella matematica. Polinomi di Hermite sono comunemente noti, ma possono essere determinati mediante relazioni di ricorrenza (che è, utilizzando soluzioni note di polinomi di Hermite precedenti per trovare i valori successivi).
Applicazioni
Mentre l'oscillatore armonico quantistico e le soluzioni di autofunzione sono solo approssimazioni, può essere applicati a un numero di sistemi fisici di fornire la comprensione del comportamento di questi fenomeni. Ad esempio, soluzioni di autofunzioni possono dare visione gli spettri di vibrazione delle molecole biatomiche (ossia molecole con due atomi), oltre a fornire una prima approssimazione alla comprensione più i livelli di energia dei sistemi più complicati, multi-atom.