Quando si inizia con tre equazioni e tre incognite (variabili), si potrebbe pensare che sono disponibili informazioni sufficienti per risolvere per tutte le variabili. Tuttavia, quando la risoluzione di un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di eliminazione, è probabile che il sistema non è sufficientemente determinato a trovare una risposta unica, e invece un numero infinito di soluzioni è possibile. Ciò si verifica quando le informazioni in una delle equazioni del sistema sono ridondante di informazioni contenute nelle altre equazioni.
Un esempio di 2 x 2
3x + 2y = 56 x + 4y = 10Questo sistema di equazioni è chiaramente ridondante. È possibile creare una equazione da altra moltiplicando solo attraverso una costante. In altre parole, trasmettono le stesse informazioni. Nonostante ci siano due equazioni per due incognite, x e y, la soluzione di questo sistema non può essere ridotta a un valore per x e un valore per y. (x,y)=(1,1) e (5/3,0) entrambi risolverlo, come fanno molte altre soluzioni. Questo è il tipo di "problema", questa insufficienza di informazioni, che porta a un numero infinito di soluzioni nei più grandi sistemi di equazioni pure.
Un esempio di 3 x 3
x + y + z = 10x-y + z = 0x _ + z = 5[Caratteri di sottolineatura sono utilizzati solo per mantenere la spaziatura]. Il metodo di eliminazione, di eliminare x dalla seconda fila sottraendo la seconda riga del primo, dandox + y + z = 10_2y= 10x _ + __z = 5Eliminare x dalla terza fila sottraendo la terza riga del primo.x + y + z = 10_2y= 10 y=5Chiaramente le ultime due equazioni sono equivalenti. y è uguale a 5, e la prima equazione può essere semplificata eliminando y.x + 5 + z = 10 y=5ox + z = 5y = 5Si noti che il metodo di eliminazione non produrrà una bella forma triangolare qui, come avviene quando c'è un'unica soluzione. Invece, l'ultima equazione (se non di più) sarà stesso assorbito nelle altre equazioni. Il sistema è ora di solo due equazioni e tre incognite. Il sistema è chiamato "sottodeterminati," perché non ci sono abbastanza equazioni per determinare il valore di tutte le variabili. Un numero infinito di soluzioni è possibile.
Come scrivere la soluzione infinita
La soluzione infinita per il sistema di cui sopra può essere scritta in termini di una variabile. È un modo di scriverlo (x,y,z)=(x,5,5-x). Dato che x può assumere un numero infinito di valori, la soluzione può assumere un numero infinito di valori.