Metodi di equazioni simultanee

Metodi di equazioni simultanee

Equazioni simultanee sono vere per le stesse variabili allo stesso tempo. È necessario risolvere le equazioni insieme per ottenere la risposta corretta. I due metodi di base per la risoluzione di equazioni simultanee sono il metodo di aggiunta e il metodo di sostituzione. Regola di Cramer è un metodo speciale utilizzato solo per due equazioni con due incognite. È possibile combinare i metodi di aggiunta e sostituzione e ripetere l'operazione per risolvere equazioni simultanee con più di due variabili.

Metodo di addizione per due equazioni con due incognite

Il metodo di aggiunta generale è come segue: "quando una coppia di coefficienti sono aspetti negativi di un altro, aggiungere le equazioni in verticale, e quello sconosciuto si Annulla. Si avrà quindi una equazione in uno sconosciuto, che si può risolvere".

Risolvere contemporaneamente per x e y:

2 x + y = 4

x - y = -1

Aggiungere le equazioni verticalmente: 2 x + x = 3 x; y + -y = 0; -1 + 4 = 3

Nuova equazione: 3 x = 3

Ora risolvere questa equazione per x ottenere x = 1

Quindi sostituire nuovamente dentro l'equazione superiore 2 x + y = 4 per ottenere 2 + y = 4

Ora risolvere questa equazione per y ottenere y = 2

Controllo: 1 + 2 = 4 e 1-- 2 =-1

Quindi la soluzione è x = 1 e y = 2

Metodo di sostituzione per due equazioni con due incognite

Il metodo di sostituzione generale è come segue: "risolvere una delle equazioni per uno sconosciuto in termini dell'altro. Quindi, sostituire che in altra equazione. Che produrrà una equazione in uno sconosciuto, che si può risolvere".

Risolvere contemporaneamente per x e y:

2 x + y = 4

x - y = -1

Risolvere 2 x + y = 4 per y ottenere y = 4-- 2 x.

Sostituire questa equazione in x - y = -1

Nuova equazione: x-- (4 - 2x) = -1.

Semplificare questa equazione per ottenere x 3--4 =-1. Ora risolvere per x ottenere x = 1

Quindi sostituire questo torna in y = 4-- 2 x per ottenere y = 4-- 2, paragrafo 1

Risolvere per y ottenere y = 2

Dato che questo corrisponde il risultato dal metodo di aggiunta, non c'è nessuna necessità di controllare.

Quindi la soluzione è x = 1 e y = 2

Regola di Cramer: il metodo dei determinanti

Questo metodo richiede l'uso di determinanti che sono coperti in algebra lineare. Qualsiasi sistema di due equazioni con due incognite può essere scritto nella forma Ax + By = C e ax + by = c, dove A e un sono i coefficienti di x e B e b sono i coefficienti della y's

Questo produce la matrice:

| UN B |

|a b |

Il numero D = Ab - Ba è il determinante di tale matrice.

Ora consideriamo la matrice dove C sostituisce A e c sostituisce r:

| C B |

|c b |

Il numero Dx = Cb - Bc è il determinante di tale matrice.

Ora consideriamo la matrice dove C sostituisce B e c sostituisce b:

| UN C |

|a c |

Il numero Dy = Ac - Ca è il determinante di tale matrice.

Stati di regola di Cramer: "In ogni sistema di due equazioni in due incognite in cui il determinante D è non 0, x = Dx/D e y = Dy/D."

Utilizzare la regola di Cramer per risolvere questo sistema di equazioni:

5 x + 3y = -11

2 x + 4y = -10

D = 54 + 32 = 14

DX = -114-- 3-10 = -14

DY = 5-10 - (-11)-2 = 28

Dalla regola di Cramer abbiamo x = Dx/D = -14/14, così x = -1.

Dalla regola di Cramer abbiamo y = Dy/D = -28/14, quindi y = -2.

Check: 5(-1) + 3(-2) = -11 e 2(-1) + 4(-2) = -10

Quindi la soluzione è x = -1 e y = -2

Metodo generale per n equazioni con incognite n

La strategia per la risoluzione di un problema di equazione n è di ridurlo a (n-1) equazioni con incognite (n-1) utilizzando i metodi di aggiunta e sostituzione. Ad esempio, si consideri un sistema di tre equazioni con tre incognite. La strategia sarà di ridurlo a un sistema di due equazioni con due incognite. Si esegue questa operazione, eliminando una delle incognite da due coppie di equazioni.

Risolvere le equazioni simultaneamente per x, y e z:

x + y - z = 4

x - 2y + 3z = -6

2 x + 3y + z = 7

Eliminare z. In primo luogo considerare equazioni 1 e 3:

x + y - z = 4

2 x + 3y + z = 7

Aggiungere verticalmente per ottenere la nuova equazione 4: 3 x + 4y = 11.

Si consideri ora equazioni 1 e 2:

x + y + - z = 4

x - 2y + 3z = -6

Risolvere l'equazione 1 per z arrivare: z = x + y -4

Sostituto nell'equazione 2 arrivare: x - 2y + 3 (x + y - 4) = -6.

Semplificare per ottenere la nuova equazione 5: 4 x + y = 6

Ora, risolvere equazioni, 4 e 5 per x e y tramite sostituzione (o qualsiasi metodo descritto sopra):

3x + 4y = 11

4 x + y = 6

Risolvere l'equazione 5 per y ottenere y = x 6-4 e sostituire indietro nell'equazione 4 arrivare: 3 x + 4 (x 6-4) = 11.

Semplificare e risolvere per x-13 x = -13 quindi x = 1

Ora sostituire indietro nell'equazione 5 e risolvere per y: 4, paragrafo 1 + y = 6, quindi y = 2

Ora sostituire x e y nell'equazione 1 (o qualsiasi delle equazioni originali): 1 + 2 - z = 4

Risolvere per z ottenere z = -1

Quindi la soluzione è x = 1, y = 2, z = -1