Gli studenti del liceo calcolo sanno l'integrale di Riemann per una funzione come la zona a cui sempre più sottili rettangoli sotto la funzione convergono. Naturalmente, ci sono alcune funzioni che non sono integrabile secondo Riemann perché essi divergono, tali come 1 / x da 0 a qualsiasi altro numero. Ma ci sono altri tipi di funzioni non integrabile secondo Riemann perché sono discontinui o non suscettibili di analisi con rettangoli verticali. Teoria della misura risolve queste situazioni.
Carenze di integrazione secondo Riemann
L'integrale di Riemann non può integrare il tutto. Ad esempio, per il dominio [0,1], si supponga che f (x) è 1 se x è irrazionale e 0 se x è razionale. Intuitivamente, l'area sotto f (x) è 1, ma l'integrale di Riemann, con il suo bisogno di continuità, non può gestire tale funzione. Allo stesso modo, mentre l'integrale di Riemann può integrare un singolo rettangolo di aumento di altezza e larghezza con una zona costante di 1 decrescente, non è possibile gestire la funzione delta di Dirac, a cui convergerebbero tali un rettangolo.
Nuovo tipo di integrale
È pertanto auspicabile un nuovo tipo di integrale. La motivazione è di avere un maggior numero di funzioni che sono integrabili rispetto solo ciò che il Riemann integrale in grado di gestire. Inoltre, si desidera una migliore limitare proprietà di Riemann integrale, cioè se le funzioni in una sequenza sono integrabili, dovrebbe così la funzione a cui converge la sequenza. Per affrontare queste carenze, l'integrale Lebesque (le-BECK), introdotto nel 1902, braciole la gamma invece del dominio, così come l'integrale di Riemann. Ciò solleva la questione di come misurare quanta parte del dominio che è stato inviato in una partizione dell'intervallo. Teoria della misura fornisce strumenti per tale misura.
Definizione di misura
Per rendere l'integrale Lebesque più largamente utile di Riemann integrale, il concetto di "misura" è definito in primo luogo in termini generali. La definizione di misura è una definizione di lunga durata che può essere trovata in qualsiasi libro di testo di analisi reale. Incorpora concetti intuitivi che abbiamo di lunghezza e misura - per esempio, che l'insieme vuoto ha misura nulla, e che se impostare A sorge in B, la misura non può essere maggiore di B di
Misura esterna ed interna
Una misura esterna di un insieme aperto è definita come la somma delle misure degli insiemi finiti (o numerabile) aperti che sono la decomposizione unica di tutto l'insieme. La misura esterna di un insieme è definita in termini il più grande limite inferiore della misura contenente insiemi aperti.
Una misura interna di set in set E è definito come la misura esterna del E meno la misura esterna del complemento della A riguardo E. Questo è certamente un modo rotatoria di definire una misura, ma aiuta ad evitare problemi quando un set non è direttamente misurabile in termini di una misura esterna.
Se le misure esterne ed interne sono uguali, il set è definito "Lebesque-misurabili."
Lebesque-integrabile
Una combinazione di definizione di misura e la nuova definizione degli integrali come rettangoli con lunghezza estesa invece di altezza alla fine porta alla capacità di risolvere per aree che non è l'integrale di Riemann. Un risultato delle definizioni è chiamato il Lebesque dominato teorema della convergenza, che equivale all'integrale di un limite di sequenza con il limite degli integrali degli elementi della sequenza. Di conseguenza, il problema prima con i numeri razionali e irrazionali potrebbe essere indicato come segue: definire una funzione fr(x) (r pedice) che è uguale a 1 ovunque tranne che per i primi numeri razionali "r", quando ha ordinato in un ordine prestabilito numerabile. FR(x) è uguale a 0 in quei punti finiti. L'integrale di tali funzioni è 1 e pertanto è così il limite di tali funzioni come "r" va all'infinito. Per il teorema della convergenza dominata, l'integrale della funzione uguale a 1 per irrazionali e 0 per tutte le irrazionali tra 0 e 1 è quindi 1.