La differenziazione è uno strumento matematico che valuta il modo una funzione cambia rispetto a qualche variabile indipendente. Essenzialmente, la derivata di una funzione in un punto specifico è la pendenza istantanea della funzione in quel punto. Una funzione che è al massimo ha una pendenza positiva prima del massimo e una pendenza negativa dopo il massimo. Ciò significa, in quasi tutti i casi, la derivata della funzione è zero al massimo. Possiamo usare questo fatto per identificare i minimi locali e maxima di qualsiasi funzione differenziabile, continuo.
Istruzioni
Trovare il minimo e massimi derivati
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Trovare la derivata della funzione.
Alcuni esempi:
Se la funzione f (x) = x 3, poi il derivato, f'(x) = 3.
Se g (y) = 4(y-2) ^ 2 + 6, poi il derivato, g'(y)=8*(y-2).
Se h(z)=sin(z), poi h'(z)=cos(z).
• Trovare la derivata della derivata della funzione, altrimenti nota come il secondo derivato.
Dagli esempi:
Per f (x) = 3 x e f'(x) = 3, allora f ' (x) = 0.
Per g (y) = 4(y-2) ^ 2 + 6 e g'(y)=8*(y-2), quindi g ' (y) = 8.
Per h(z)=sin(z) e h'(z)=cos(z), poi ''(z)=-sin(z). h
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Impostare la seconda derivata uguale a zero. La derivata seconda della funzione sarà uguale a zero solo quando la derivata prima ha un minimo o massimo.
Ciascuno dei tre esempi precedenti viene illustrato il comportamento differente. Per f (x) = 3 x, f ' (x) = 0. Per quali valori di x è f cm = 0? Tutti loro. Di conseguenza, il derivato ha un minimo o massimo in ogni punto, che non ha senso fino a quando non te lo ricordi il derivato, ovvero è uguale a 3 ovunque. Così non ha minimi o massimi, o ha la stessa massima e minima ovunque, che è 3.
For g(y)=4(y-2)^2 + 6, g''(y)=8. For what values of y is g''=0? None of them; it's always equal to 8, so the derivative of your function has no minima or maxima. Again, it seems strange until you look at the graph and see that your initial quadratic function g(y) has a first derivative that's just a straight line---no dips or bumps to make extrema.
For h(z)=sin(z), h''(z)=-sin(z). For what values of z is -sin(z)=0? At z=0, +/-pi, +/-2*pi, etc. Now look back at the first derivative and plug in the values of z that we now believe to correspond to minima and maxima. h'(z)=cos(z). Cos(0)=1, which we know is a maximum for the cosine function. Cos(pi)=-1, which we know is a minimum for cosine, etc.•
Ora limitare l'intervallo per la variabile indipendente trovare i relativi derivati di massimi e minimi. In questo contesto, massimo relativo significa solo il massimo in un determinato intervallo di variabili indipendenti. Nel nostro esempio terzo sopra, potevamo chiedere il massimo relativo tra z = 3 pipi e 5e si troverebbe extrema alle pi 3pi, 4e 5 * pi. In questo esempio, la funzione coseno è ben nota al punto dove sappiamo che è minimo a 3 pi e pi 5 e massimo a 4 pi.
Questo passaggio ci ha dato gli estremi, ma esso non ci dice con certezza che sono massimi e che sono minimi. Un passo finale sarà chiarire la confusione rimanente.
• Prendere la derivata della funzione ancora una volta. Se è positiva per l'estremo, allora è minimo, se è negativo, sei al massimo.
Nostro esempio nuovamente: la derivata seconda è h cm (z)=-sin(z), il derivato del che è h cm '(z)=-cos(z). Nella gamma z = 3 pipi a 5, il secondo derivato è stato pari a zero a pi di 3pi, 4e 5pi, quindi questi sono i valori a cui siamo interessati poll. -cos (3pi) = 1, che è positivo, quindi gli estremi che abbiamo trovato sono un minimo. -cos (4pi) =-1, quindi la extrema è un massimo. E cos(5pi) = 1, quindi gli estremi c' sono almeno un altro. Tutto ciò che è coerente con ciò che sappiamo della funzione coseno.
Consigli & Avvertenze
- Come con tutti i problemi di matematica, la bellezza e le insidie sono nei dettagli: scrivere i passi e con cautela.