Come scomporre una frazione di parziale

Frazione parziale decomposizione è un metodo algebrico utilizzato per effettuare una complessa funzione razionale (una frazione) in uno più semplice. Il metodo viene frequentemente utilizzato nel calcolo per semplificare la funzione integranda di un integrale, che conduce ad una più semplice integrazione. L'obiettivo è semplificare la funzione razionale e convertire la forma complessa nella somma di due o più funzioni razionali più semplice. Frazione di parziale decomposizione può essere considerato come l'operazione inversa di sommare le frazioni.

Istruzioni

• Fattore il denominatore della funzione razionale. Ad esempio, si consideri la funzione razionale (x ^ 2 + 2x - 1) / (2x ^ 3 + 3 x ^ 2-2x). Quando scomposto il denominatore (2 x ^ 3 + 3 x ^ 2-2x) diventa x (2 x ^ 2 + 3 x - 2), poiché x è il massimo comune divisore. Factoring nuovamente, x (2 x ^ 2 + 3 x - 2) diventa: x (2 x - 1)(x + 2).

• Separare ogni fattore dal denominatore factored, prendere la loro reciproca e aggiungerli. Ad esempio, il denominatore x (2x - 1)(x + 2) ha tre fattori distinti: x, 2 x - 1 e x + 2. Utilizzando lettere consecutive come numeratori per ogni fattore, la decomposizione parziale frazione diventa: (x ^ 2 + 2 x - 1) / x (2x - 1)(x + 2) = (A / x) + (B / (2x - 1)) + (C / (x + 2)).

• Determinare i valori per i numeratori delle frazioni parziali. Ad esempio, moltiplicando entrambi i lati dell'equazione (x ^ 2 + 2x - 1) / (2x ^ 3 + 3 x ^ 2-2 x) = (A / x) + (B / (2x - 1)) + (C / (x + 2)) dal denominatore fattore ottiene: (x ^ 2 + 2 x - 1) = (A (x 2 - 1)(x + 2)) + (Bx(x + 2)) + Cx (2x - 1). Espansione sul lato destro, l'equazione diventa: (x ^ 2 + 2x - 1) = x ^ 2 (2A + B + 2C) + x (3A + 2B - C) - 2A.

• Impostare le equazioni da risolvere per i coefficienti sul lato destro dell'equazione. Ad esempio, risolvendo per i coefficienti A, B e C nell'equazione (x ^ 2 + 2 x - 1) = x ^ 2 (2A + B + 2C) + x (3A + 2B - C) - 2A constata che: (2A + B + 2C) = 1, poiché il coefficiente di x ^ 2 sul lato sinistro è 1; (3A + 2B - C) = 2, dato che il coefficiente di x sul lato sinistro è 2; -2A = -1, poiché la costante sul lato sinistro è -1.

• Risolvere per i coefficienti. Ad esempio, dal - 2A = -1, A = (1 / 2). Da A = (1 / 2), 3(1 / 2) + 2B - C = 2---> 2B - C = (1 / 2) e 2(1 / 2) + B + C 2 = 1---> B + 2 C = 0. Proseguendo risolvere trova B = (1 / 5) e C = (- 1 / 10).

• Scrivere la frazione decomposta utilizzando i coefficienti appena determinati. Ad esempio, (x ^ 2 + 2x - 1) / (2x ^ 3 + 3 x ^ 2-2x) = (1 / 2)(1 / x) + (1 / 5) (1/2 x - 1)-(1 / 10) (1/x + 2).

Consigli & Avvertenze

  • Un'impropria funzione razionale richiede l'uso di sintetico divisione dei polinomi di scrivere in forma di frazioni parziali. Se un fattore ha un prodotto che si ripete, come quelli in forma (ax + b) ^ n, dove n è qualsiasi numero intero positivo, la decomposizione parziale frazione diventa: (a (1) / (ax + b)) + (a (2) / (ax + b) ^ 2) +...+(A(n) / (ax + b) ^ n).