Come risolvere sistemi lineari a più variabili

Sistemi lineari sono insiemi di equazioni lineari con variabili multiple che possono essere risolti insieme a causa di un'interrelazione. Sistemi lineari già in forma di riga echelon sono più facili da risolvere attraverso posteriori della sostituzione di una variabile di noto. Più complessi sistemi lineari possono essere risolti usando eliminazione gaussiana, che impiega le operazioni di commutazione equazioni, moltiplicando un'equazione da un numero diverso da zero e quindi aggiungerlo a un'altra equazione per sostituire quest'ultima equazione.

Istruzioni

Modulo di Echelon di riga

• Utilizzare la sostituzione posteriore per trovare le soluzioni del sistema lineare, comprese le seguenti tre equazioni: z - 2y + 3 x = 6, y - z = -3 e z = 2. Si noti che una delle vostre soluzioni, per "z", è stata fornita.

• Utilizzare la sostituzione posteriore per inserire il valore noto per "z" l'equazione y - z = -3: y - 2 =-3. Aggiungere 2 ad entrambi i lati per risolvere per "y": y = -1. Nota che ora avete due soluzioni: z = 2 e y = -1.

• Sostituire i valori noti di "y" e "z" nell'equazione z - 2y + 3 x = 6 o 2 - 2(-1) + 3 x = x 6 o 2 + 2 + 3 = x 6 o 4 + 3 = 6. Sottrarre 4 da entrambi i lati: 3 x = 2. Dividere entrambi i lati di 3 per risolvere per "x": x = 3/2.

• Scrivere la soluzione impostata come {(3/2, -1, 2)}.

Eliminazione gaussiana

• Utilizzare i metodi di eliminazione di Gauss per risolvere l'equazione lineare set contenente queste due equazioni: 4 x - 2y + z = 2 e y + 3z = 6.

• Risolvere la seconda equazione per "y" sottraendo "3z" da entrambi i lati: y = - 3z + 6. Si noti che poiché la risposta contiene "z", avete trovato la soluzione a "y" in termini di "z".

• Il valore di sostituzione questo trovato "y" nell'equazione 4 x - 2y + z = 2 o 4 x - 2 (-3z + 6) + z = 2. Semplificare l'equazione: 4 x + 6z - 12 + z = 2 o 4 x + 7z -12 = 2. Aggiungere 12 ad entrambi i lati: 4 x + 7z = 14. Sottrarre 7z da entrambi i lati per iniziare a risolvere per "x": 4x = - 7z + 14. Dividere entrambi i lati per 4 per risolvere per "x": x = (-7z + 14) / 4. Si noti che "x" è stato risolto in termini di "z".

• Semplificare l'insieme delle soluzioni delle equazioni in forma di echelon riga impostando uguale a una nuova variabile "z" quindi sostituire le istanze di "z" nelle altre equazioni di risposta. Utilizzando z = a, nonché le altre equazioni diventati y = - 3a + 6 e x = (-7a + 14) / 4.

Consigli & Avvertenze

  • Sistemi lineari possono avere soluzioni uniche, come visualizzato nell'esempio echelon riga, o più soluzioni (parametriche), che risultano necessari quando ci sono più variabili che ci sono equazioni, come nell'esempio gaussiana. È anche possibile che risolvendo un insieme si rivelerà il set sono false, o irrisolvibili, nel qual caso non c' non è nessuna soluzione.