Meccanica quantistica descrive il comportamento della materia a livello atomico e subatomico. Purtroppo, molti dei suoi concetti di base sono controintuitivi, dato che sembrano opporsi alla nostra esperienza quotidiana della realtà. Molte classi di intro aiutano gli studenti a comprendere alcuni dei principi coinvolti utilizzando il modello più semplice possibile: una particella in una scatola. Utilizzando questo modello, si può calcolare le energie consentite della particella nella scatola e guadagnare una certa comprensione in come le energie consentite vengono calcolate per un sistema più complesso--l'atomo di idrogeno.
Istruzioni
• Supponiamo di che avere una particella di massa, "m", in una scatola. Le pareti della scatola sono separate da una distanza, "l". Le pareti sono infinitamente alte. Questo sistema può essere descritto utilizzando una funzione d'onda, "Ψ(x)," come una possibile soluzione all'equazione di Schrodinger. Schrodinger è indipendente dal tempo equazione: (-h ^ /8π 2 ^ 2 m) * (d ^ 2 Ψ(x) / dx ^ 2) + V(x) Ψ(x) = E Ψ(x). "E" è l'energia totale, "V(x)" è l'energia potenziale, "Ψ(x)" (di seguito semplicemente "Ψ") è la funzione d'onda e "h" è la costante di Planck - una costante si incontra spesso in meccanica quantistica.
• Si noti che all'esterno della casella, la particella avrà energia potenziale infinito. L'equazione di Schrodinger quindi diventa: (-h ^ /8π 2 ^ 2 m) (d ^ 2 Ψ(x) / dx ^ 2) + Ψ(x) infinito = E Ψ(x).
L'unico modo che questa relazione ora può contenere vera è se Ψ(x) = 0, perché allora entrambi i lati sarà uguali. Di conseguenza, la funzione d'onda è 0 ovunque all'esterno della casella. Poiché la probabilità di trovare la particella in un determinato luogo è solo il quadrato della funzione d'onda, c'è probabilità zero che la particella può essere fuori dagli schemi.
• Considerare la regione all'interno della scatola, dove l'energia potenziale è 0. Ora V(x) = 0, quindi l'equazione di Schrodinger si semplifica in: (-h ^ /8π 2 ^ 2 m) * (d ^ 2 Ψ(x) / dx ^ 2) = E Ψ(x).
Si tratta di un'equazione differenziale di secondo ordine, e le soluzioni di questa equazione sono il formato generale seguente: Ψ(x) = un peccato kx + B cos kx. "A" "B" e "k" sono costanti.
• Sostituire la forma generale della soluzione nell'equazione di Schrodinger. Questo ti dà: (-h ^ /8π 2 ^ 2 m) * (secondo derivato di un peccato kx + B cos kx) = E (un sin kx + B cos kx).
• Prendete il secondo derivato di un peccato kx + B cos kx. Si può ricordare da classi di calcolo, il derivato del peccato kx è k cos kx, mentre la derivata di cos è kx -k peccato kx. Quindi, sarà il primo derivato: Ak cos kx - Bk peccato kx.
Riprendendo il derivato produce: -Ak ^ 2 peccato kx - k ^ 2 B cos kx.
Avviso è possibile scomporre -k ^ 2 fuori questa equazione. Una volta che si esegue questa operazione, si dispone di: -k ^ 2 (un sin kx + B cos kx).
• Nota qualcosa di interessante circa la derivata seconda che appena calcolato. L'equazione all'interno della parentesi è la stessa come la funzione d'onda originale. È pertanto possibile riscrivere come: -k ^ 2 (Ψ(x)).
Quando si sostituisce questo nuovamente dentro l'equazione di Schrodinger, si ottiene: E Ψ(x) = (-(-k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2 m) * Ψ(x).
È possibile dividere entrambi i lati per Ψ(x), l'annullamento per produrre: E = - (-k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2m.
Gli aspetti negativi che annullano a vicenda: E = (k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2m.
Stanno avvicinando, ma hai ancora bisogno di trovare k.
• Notare che non è stata ancora applicata le condizioni al contorno per la funzione d'onda. La probabilità di trovare la particella fuori dagli schemi è zero, la probabilità di trovare la particella sulle pareti della scatola deve essere zero. È possibile impostare arbitrariamente un lato della scatola per iniziare a x = 0 e l'altro a x = L; in questo caso, Ψ(0) = 0 e Ψ(L) = 0. Vediamo il primo caso. Se Ψ(0) = 0, allora questo è vero: 0 = un peccato kx + B cos kx.
Il peccato di zero ordinariamente è zero, quindi il primo termine va a zero. Ma per quanto riguarda il secondo? B cos k(0) può solo essere zero se B è zero. In tal caso, la funzione d'onda ora diventa: Ψ(x) = un kx di peccato.
• Considera Ψ(L) = 0. Se questo è vero, allora un peccato kL = 0. La costante A non può essere zero, perché se così fosse, allora la funzione d'onda sarebbe zero che ovunque e la particella non sarebbe da nessuna parte, che non è possibile. Di conseguenza, peccato kL deve uguale a zero. Ricordo dal liceo trigonometria che π peccato = 0, 2 π peccato = 0, peccato 3 π = 0 e così via. Il peccato di qualsiasi numero intero multiplo di π = 0. Pertanto kL è pari a un numero intero volte π. È possibile utilizzare questo per scrivere l'equazione kL = nπ, dove "n" è qualsiasi numero intero maggiore di zero. Risolvendo per k, troverete: k = nπ / L. Quindi la funzione d'onda è Ψ(x) = A peccato nπ / L, dove A è una costante e n è qualsiasi numero intero maggiore di zero.
• Ricordare (Ψ(x)) ^ 2 è la probabilità di trovare la particella in un determinato luogo. Se questo è vero, l'integrale di Ψ(x) su 0 per L deve essere uguale per 1. Perche '? Beh, l'integrale ti dà l'area sotto una curva e la zona di sotto (Ψ(x)) ^ 2 ti dà la probabilità di trovare la particella in quella regione. Poiché la particella non può essere fuori dagli schemi, se si somma la probabilità di trovare la particella a qualsiasi determinato valore di x all'interno della scatola, la somma di tutte queste probabilità deve essere 1. La particella deve essere da qualche parte all'interno della scatola, dopo tutto.
• Prendere l'integrale di Ψ(x) ^ 2 su 0 a L e insieme esso uguale a 1: (un peccato nπx / L) ^ 2 dx = 1.
Nota una volta si piazza questo, si può muovere A ^ 2 esterne l'integrale segno perché è una costante, dandovi: A ^ 2 ∫ (peccato nπx / L) ^ 2 dx = 1.
• Si noti l'integrale di sin ^ 2 bx, con b come una costante, è x / 2-1/4b sin 2bx. In questo caso, quindi, l'espressione dall'ultimo passaggio si semplifica in: A ^ 2 (x / 2 - L/4nπ sin 2nπx / L) su 0 per L = 1.
Quando x = 0, il metodo equals intera espressione zero, quindi abbiamo solo bisogno di valutare cosa succede quando x = L e che è uguale a 1. Questo ci dà: A ^ 2 (2/L-L/4nπ peccato 2πn L / L) = 1.
Annullare la Ls all'interno della funzione di peccato. Ricordare il peccato 2 π = 0, quindi il peccato di eventuali tempi di numero intero n 2 π è ancora a zero. Pertanto, questa intera espressione si semplifica in: A ^ 2 (L/2) = 1.
Che cosa deve A essere per questa espressione di tenere vero? Per scoprire, si possono dividere entrambi i lati per L/2, poi prendere la radice quadrata, dandovi: A = (2/L) ^ 1/2.
• Sostituire la risposta che hai appena trovato nuovamente dentro la funzione d'onda per mostrare le seguenti: Ψ(x) = (2/L) ^ 2 (peccato nπx / L).
Tutte le funzioni d'onda accettabile deve avere questa forma, dove n è qualsiasi numero intero positivo. Se vi ricordate, abbiamo anche trovato in precedenza: E = (k ^ 2) h ^ 2 / 8π ^ 2m, dove k è la costante per cui x viene moltiplicata nella funzione d'onda. Se si esamina la funzione d'onda, si noterà che x viene moltiplicato per nπ / L, quindi k = nπ / L.
• Sostituire il valore di k nell'espressione derivata per l'energia: E = (nπ / L) ^ h 2 ^ 2 / 8π ^ 2m. È possibile semplificare questo a: E = n ^ 2 π ^ h 2 ^ 2 / 8 π ^ 2 m L ^ 2.
Il π ^ 2 nel numeratore e denominatore annullare, quindi ora avete: E = (n ^ 2 h ^ 2) / (8 m L ^ 2), dove ora si sa l'energia per ogni intero positivo n in qualsiasi scatola con lunghezza L.
Consigli & Avvertenze
- Nota qualcosa di interessante circa i risultati: sono tutti intero multipli, dove n deve essere un valore integer. In altre parole, la particella nella scatola non può avere qualsiasi energia che si decide di dargli. La quantità di energia che ha è quantizzata, e può avere solo certi valori discreti di energia. Lo stesso vale per gli elettroni in un atomo. Ricordate l'energia di un fotone di luce è calcolato dalla formula E = hv, dove v è la frequenza, e inizierai a vedere perché gli elementi sono distinto assorbimento e spettri di emissione--in altre parole, solo emettono e assorbono determinate lunghezze d'onda caratteristiche della luce.