Laplaciano è un operatore differenziale che calcola la somma delle derivate parziali seconde di una funzione (Vedi figura). La differenziazione parziale è un approccio comune per ottenere derivati di una funzione con più variabile. Considera solo una particolare variabile come una variabile alla volta mentre gli altri sono mantenuti costanti. Laplaciano è di grande importanza in fisica, essendo una parte di molte equazioni fondamentali (ad es., equazioni di Schrodinger e Helmholtz).
Ad esempio, calcolare laplaciano della funzione: f = 7 X ^ 4 + 4Y ^ 2.
Istruzioni
• Prendere in considerazione le regole di differenziazione che verranno utilizzate nei passaggi seguenti:
Regola 1. La derivata della funzione "X in potenza p", cioè, f (x) = CX ^ p, è df/dX = pCX ^(p-1). C è un numero costante. Si noti che un derivato è abbreviato come df/dX o f.
Regola 2. La derivata di qualsiasi numero costante è 0.
• Calcolare la derivata parziale prima della funzione f rispetto a X. Using regole dal passaggio 1, è necessario ottenere:
d (7 X ^ 4 + 4Y ^ 2) /dX = 4 * 7 X ^(4-1) + 0 = 28 X ^ 3.
Si noti che il termine "4Y ^ 2" è considerato come una costante, e la sua derivata è zero.
• Calcolare la derivata parziale prima della funzione f rispetto a y:
d (7 X ^ 4 + 4Y ^ 2) /dY = 0 + 2 * 4Y ^(2-1) = 8a ^ 1 = 8A
Si noti che ora il termine "7 X ^ 4" è considerato come una costante, e la sua derivata è zero.
• Ottenere la prima derivata parziale di f la funzione come somma delle derivate parziali da passaggi 2 e 3:
f'(X,Y) = df (X, Y) /dX + df (X, Y) /dY
Nel nostro esempio, f'(X,Y) = 28 X ^ 3 + 8 Y.
• Calcolare la derivata parziale seconda della funzione f rispetto alla X come una derivata parziale della funzione dal passaggio 4. Simile al passaggio 2, è necessario ottenere:
d (28 X ^ 3 + 8a) /dX = 3 * 28 X ^(3-1) + 0 = 84 X ^ 2
• Calcolare la derivata parziale seconda della funzione f rispetto a Y come una derivata parziale della funzione dal passaggio 4. Simile al passaggio 3, è possibile ottenere:
d (28 X ^ 3 + 8a) /dY = 0 + 1 * 8A ^(1-1) = 8a ^ 0 = 8
• Calcolare laplaciano della funzione f come una somma delle derivate parziali seconde da passaggi 5 e 6:
Laplaciano (7 X ^ 4 + 4Y ^ 2) = 84 X ^ 2 + 8