Come calcolare i momenti di inerzia

Come calcolare i momenti di inerzia

Il momento d'inerzia è una misura della tendenza di un oggetto a resistere cambia di rotazione. Questa quantità dipende dalla distribuzione di densità di massa di uno o più oggetti in questione, insieme alla lunghezza del braccio di momento, o il vettore che corre dal centro di massa dell'oggetto all'asse maggiore della rotazione. La procedura seguente descriverà come calcolare il tensore di inerzia, o la matrice come oggetto che definisce tutti gli elementi inerziali che rappresentano le combinazioni e fuori asse di contributi di inerzia dal centro di massa telaio. Questa procedura, che richiede una certa conoscenza del calcolo infinitesimale e algebra lineare, è più utile per gli studenti in un corso di fisica di livello intermedio.

Istruzioni

• Orientare il tuo oggetto all'interno del centro di massa. Suo centro di massa deve essere posizionata nel punto (0, 0,0) nel piano xyz. Identificare la posizione generalizzata ri di vettore (r = [xi, yi, zi]'). Questo rappresenterà la posizione di un pezzo infinitesimale dell'oggetto di fuori di origine, che utilizzeremo per generalizzare il calcolo. Definire la variabile "mi" come una massa infinitesimale all'interno dell'oggetto o sistema di oggetti; Questo si trova presso il punto a cui fa riferimento il vettore posizione.

• Annotare il tensore di inerzia. Questo sarà simile a una matrice delle righe seguenti, scritti dall'alto verso il basso: [Ixx, Ixy, Ixz], [Iyx, Iyy, Iyz], [Izx, Izy, Izz].

• Sostituire le relazioni seguenti per ogni elemento del tensore di inerzia: Ixy = Iyx = - sum[mi(xi)(yi)]; IXZ = Izx = - sum[mi(xi)(zi)]; Iyz = Izy = - sum[mi(yi)(zi)]; IXX = somma [mi (y ^ 2 + z ^ 2)]; Iyy = somma [mi (x ^ 2 + z ^ 2)]; Izz = somma [mi (x ^ 2 + y ^ 2)].

• Scrivere la relazione per la modifica in massa come si viaggia lungo il braccio di momento verso l'esterno dal centro di massa per ogni elemento nel tensore. Si dovrebbe finire con un infinitesimal cambiamento nelle dimensioni di lunghezza o unità angolari. Sostituire questa quantità in ogni elemento del tensore di inerzia per la variabile "mi". Integrare tutti gli elementi del tensore di inerzia sopra questo cambiamento in massa per ottenere l'equazione specifico per ogni elemento del tensore per quanto concerne il problema a portata di mano. Questi assi da cui dipende il braccio di momento dovrebbero essere evidenti dal vettore di braccio di momento che è stato identificato nel primo passaggio.

• Sostituire tutte le variabili conosciute negli elementi del tensore per ottenere la quantità desiderata. Ora è necessario un tensore di elementi inerziali che conti per ogni combinazione di assi, tra cui i momenti di principio e prodotti di inerzia. Gli elementi comunemente chiamati il "momenti d'inerzia" in questo tensore sono gli elementi Ixx, Iyy e Izz.


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