Equazioni lineari descrivono linee rette o superfici piatte multidimensionali. Sistemi di equazioni lineari sono insiemi di equazioni lineari. Si trovano in molte discipline accademiche e tecniche. Equazioni lineari sono utilizzati in statistica, ingegneria, fisica, finanza ed economia. Un dato sistema di equazioni lineari può cadere in una delle tre categorie. Ai fini del presente articolo, si utilizzerà il seguente sistema dimensionale due come esempio:
4 x + 5y = 1
4 x - 2y = 2
Nomenclatura di equazioni lineari
Il rango di un sistema di equazioni lineari è il numero di righe linearmente indipendenti o colonne della matrice coefficienti di quel sistema. La matrice dei coefficienti è una griglia di numeri che precedono le variabili di sistema. Nel nostro esempio, sarebbe la matrice di coefficienti:
4 5
4 -2
Per una riga (o colonna) essere linearmente indipendenti di un'altra riga (o colonna), deve essere il caso che una riga (o colonna) non può essere prodotto da una combinazione lineare di un'altra riga (o colonna). Non dovrebbe poter più tutti gli elementi della riga 1 da un singolo numero per ottenere la riga 2. Si può vedere che tutte le colonne nella nostra matrice di coefficienti di esempio sono linearmente indipendenti perché non esiste nessun singolo numero che ci permetterebbe di moltiplicare 4 per ottenere 5 e -2. Si vede anche che le righe nella nostra matrice di esempio sono linearmente indipendenti. Non esiste nessun singolo numero che moltiplicato per 4 genera 4 e quando moltiplicato per 5 -2. Ciò significa che il rango del nostro sistema di esempio è 2.
La matrice aumentata è una combinazione della matrice coefficienti e il vettore di soluzione. Nel nostro esempio sarebbe la matrice aumentata:
4 5 1
4-2 2
Perché questa matrice ha due righe, il valore più alto che il rango della matrice aumentata può eventualmente essere è 2. Pertanto, in questo esempio, il rango della matrice aumentata è uguale al rango della matrice dei coefficienti.
Estensione del sistema di
Nel nostro sistema di esempio delle equazioni, ci sono solo due variabili. Le equazioni descrivono linee nello spazio bidimensionale. Se dovessimo aggiungere un altro insieme di variabili le equazioni descrivono piani nello spazio tridimensionale. Questo può essere esteso a più dimensioni. Invece di pensare in termini di sistemi con un numero qualsiasi particolare di variabili, possiamo pensare in termini di un sistema generico con n variabili. Questo permette di classificare le proprietà generali di tutti i sistemi di equazioni indipendentemente dal numero di variabili nel sistema.
Nessuna soluzione
Se il rango della matrice coefficienti non è uguale al rango della matrice aumentata, non c'è nessuna soluzione. Non esiste un unico set di valori che soddisfa i requisiti descritti nel sistema di equazioni. Il sistema di equazioni non può essere risolti. Se il sistema non può essere risolto, il sistema è detto di essere incoerenti.
Una soluzione unica
C'è un unico set di soluzioni per il sistema di equazioni se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice aumentata ed entrambi sono uguali al numero di colonne della matrice dei coefficienti. C'è un unico insieme di valori che soddisfi i requisiti descritti dal sistema di equazioni. Se c'è una soluzione unica, il sistema è detto di essere indipendenti.
Un numero infinito di soluzioni
Il sistema di equazioni ha un numero infinito di soluzioni se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice aumentata ed entrambi sono meno del numero di righe della matrice di coefficienti. Thiere è un infinitamente grande insieme dei valori che soddisfano i requisiti descritti dal sistema di equazioni. Se ci sono un numero infinito di soluzioni, il sistema è detto di essere dipendente.