Uso dei tensori

Uso dei tensori

Tensore, un'entità matematica, rende più facile trattare con equazioni complesse. Un tensore può rappresentare un valore scalare, un vettore o una matrice, a seconda del numero di indici o indici che ha. Ad esempio, un tensore di secondo ordine ha due indici e rappresenta una matrice 3 X 3. Gli indici di prendere i valori integer da uno a tre in uno spazio tridimensionale.

Materiale derivato

Uso dei tensori

Uno dei migliori esempi di uso del tensore è la derivata materiale o sostanza. Questo derivato calcola il tasso di cambiamento di alcune proprietà all'interno di un campo di velocità. Nel grafico, N (x, y, z, t) è un tensore di primo ordine in tre dimensioni e può essere un vettore o una funzione scalare. Il campo di velocità V (x, y, z, t) = u ji + v+ w * k, è un altro tensore del primo ordine dal momento che ha tre componenti direzionali (u, v e w). Il grafico Visualizza i risultati. Nota il componente di tempo è separato dal componente posizione.

Stress

Uso dei tensori

Un altro uso del tensore in ingegneria proviene dalla derivazione delle equazioni di stress. Lo stress è una misura delle forze interne in un corpo che derivano dall'applicazione di forza esterna. Sforzo normale agisce lungo l'asse specificato, mentre la sollecitazione di taglio agisce perpendicolare a questo asse. Battendo le mani crea stress normale, mentre loro sfregamento crea la sollecitazione di taglio. Quando l'analisi rappresenta tutte le sollecitazioni, il risultato è il tensore di Cauchy. Omega è la sollecitazione normale e agisce lungo l'asse indicato con il pedice. Sollecitazione di taglio è denotato da tau e agisce sui piani normali agli assi.

Ceppo

Uso dei tensori

Ceppo è una misura delle deformazioni causate dallo stress. Esistono molti metodi di analisi e molte ipotesi semplificatrici possono applicare a ogni metodo. Un ingegnere può derivare il tensore di sforzo infinitesimale, o tensore di sforzo di Cauchy, da un'analisi geometrica di un elemento infinitesimal del corpo che sta studiando. Il tensore risultante da tale analisi è illustrato nel grafico.

Alternando il tensore

Uso dei tensori

Il tensore alternato, come mostrato nel grafico, ha particolari proprietà che sono utili per un ingegnere. Una applicazione del tensore alternante è per convertire un vettore, o tensore di primo ordine, in un tensore di secondo ordine e viceversa. La risultante di secondo ordine tensore è anti-simmetrica ed ha proprietà utili per il tecnico, uno dei quali è il teorema che ogni tensore può essere espresso come somma di una simmetrica e una matrice antisimmetrica.

Delta di Kronecker

Uso dei tensori

Un'altra speciale tensore è la delta di Kronecker, definita nel grafico. Questo tensore è utile per la conversione di un valore scalare in un tensore di secondo ordine. Matematicamente, tensori di ordine diverso non possono essere aggiunto insieme, ma in un'equazione come quella che regola il movimento fluido di semplice traduzione, diventa una necessità. Questa applicazione è mostrata nella derivazione nel grafico.