In algebra, l'espressione quadratica è di ax forma ^ 2 + bx + c, dove a, b e c sono costanti, e x è una variabile. L'obiettivo di un'espressione quadratica di factoring è di metterlo in forma (Ax + B)(Cx + D).Le ragioni di esecuzione di tale compito sono molte. Quando tale espressione è impostato su zero, factoring semplifica il compito di risolvere per i valori di x. Inoltre, dà agli studenti la pratica con la moltiplicazione e la differenza tra costanti e variabili.
c = 0
La forma più semplice di fattore è quando c = 0. Quindi la fattorizzazione è semplicemente una questione di factoring fuori una x. Ad esempio, x ^ 2 + 3 fattori di x di x (x + 3).
b = 0
La più semplice espressione quadratica prossima al fattore è quando b = 0. Il risultato ha una simmetria ad esso, perché B e D sono solo la radice quadrata di c.Ad esempio, x ^ 2-9 fattori di (x - 3)(x + 3).Si noti che moltiplicando i termini si ottiene addendi: x ^ 2, -3 x 3 e -9.Si noti che x-3 e 3 x annullare fuori quando aggiunto.Se una non è uguale a 1, cioè x ^ 2 ha un coefficiente di banale, quindi tale coefficiente dovrebbe essere fattorizzato in primo luogo, prima che sia adottata una radice quadrata della costante:2x ^ 2-9diventa2 (x ^ 2-9/2).Ora utilizzare la radice quadrata di 9/2 come hai usato la radice quadrata di 9 (cioè 3) sopra:2 (x - 3/sqrt(2)) (x + 3/sqrt(2))dove "sqrt" sta per "radice quadrata".
Numeri immaginari
Si noti che i due esempi precedenti utilizzato c < 0. Se c è stato positivo, per esempio x ^ 2 + 9?Il guaio è che ci deve essere un negativo termine nel modulo factored, così che eventuali termini di primo ordine (una volte coefficiente x) vengono annullate:(x - B) (x + B)Ma questa forma moltiplica fuori essere x ^ 2 - B ^ 2, per cui x ^ 2 + 9 non sembra paragonabile. Tuttavia, definendo l'immaginario numero i = sqrt(-1) permette tali una riscrittura.Quindi x ^ 2 + 9 = x ^ 2 - (3i) ^ 2, perché ho ^ 2 =-1.Così la fattorizzazione di x ^ 2 + 9 è (x - 3i)(x + 3i).
Metodo del foglio di controllo
Un approccio metodico per il controllo di una fattorizzazione è quello che viene chiamato il metodo di stagnola. LAMINA è un acronimo per primo-esterno-interno-ultimo. Esso è l'abbreviazione per un approccio in quattro passaggi per tenere traccia di tutti i quattro moltiplicazioni coinvolti in moltiplicando i termini di una fattorizzazione.Noi utilizzeremo (3 x + 4) (5x - 3) come un esempio.Per "primo" in un foglio si intende moltiplicare il primo termine nel primo fattore dal primo termine nel secondo fattore:3 x 5 x = 15 x ^ 2Si intende per "esterno" in lamina moltiplicando i due termini esterni, 3 x e -3:3 x (-3) = x-9Si intende per "interiore" in lamina moltiplicando i due termine interno, x 4 e 5:4 5 x = 20xPer "ultimo" si intende moltiplicare i due termini ultimi nei due prodotti:4 (-3) = -12Seguendo questa routine, si può essere sicuri di seguire attraverso su tutte le quattro possibili moltiplicazioni.
Sommando questi termini dà 15 x ^ 2-9 x + 20x - 12 = 15 x ^ 2 + 11 x - 12
FOIL metodo Reverse
Il metodo reverse FOIL è un approccio di prova-e-errore di secondo grado di factoring. Richiede la padronanza di coefficienti di factoring.Il modulo (Ax + B)(Cx + D) viene confrontato a ax ^ 2 + bx + c.c deve scomporre in BD. un must fattore nella AC.Giocando con le possibilità, si possono trovare fattorizzazioni di a e c tale che b = BC + annuncio, cioè il coefficiente del termine x.Esempio:2 x ^ 2 + 7 x + 3Confrontando questo al form (Ax + B)(Cx + D), chiaramente, B e D sono 1 e 3, ma che è che non è chiaro prima. Inoltre, A e C sono chiaramente 1 e 2, ma ancora una volta, che è che non è chiaro.Le possibilità possono essere collegate a vedere quello che moltiplica fuori alla forma originale. Provando A = 1 e D = 3 dà:(x + 1) (2 x + 3)Utilizzando il metodo di stagnola per moltiplicare fuori tutti i termini dà: 2 x ^ 2, 3 x, 2x, 3. 3x e 2x non aggiungerà a 7 x, quindi è necessaria un'altra prova.Provando A = 2 e D = 3:(2x + 1) (x + 3) dà 2 x ^ 2, 6 x, 1x, 36 x e 1 x aggiungere per dare la desiderata 7 x, quindi (2x + 1)(x + 3) è la soluzione.C'era un modo più rapido, utilizzando il requisito che b = BC + annuncio? Collegare la seconda ipotesi (A = 2 e D = 3) dà 7 = BC + 2 * 3, dando la soluzione BC = 1. Così B e C è uguale a 1. Nonostante la sua brevità, alcuni studenti non possono trovare un approccio di equazione particolarmente facile.
Formula quadratica
Un altro metodo di factoring è fattore fuori il coefficiente di x ^ 2, quindi utilizzare quello che viene chiamato la formula quadratica.Si può dimostrare, utilizzando un metodo chiamato "completamento del quadrato", che la soluzione di ax ^ 2 + bx + c = 0 è x = [-b + sqrt (b ^ 2 - 4ac)] / [2a], dove + /-significa "più o meno" e indica che se b ^ 2 - 4ac è diverso da zero, allora x ha più di una soluzione.Se l'espressione quadratica ha un = 1, allora x ^ 2 + bx + c possono essere presi in considerazione (x - QF1)(x-QF2), dove QF1 e QF2 sono le due soluzioni date dalla formula quadratica.Perché fa questo lavoro? Perché QF1 e QF2 sono i due valori di x, dove l'espressione quadratica hanno il valore zero. Di conseguenza, questi sono i valori di x per cui la forma (x + B)(x + D) è uguale a zero. (x + B) deve essere zero a uno di loro e (x + D) deve essere zero a altra.Così (x + B) = (QF1 + B) = 0, quindi B = - QF1. Allo stesso modo per D.Come ottenere un = 1 per utilizzare questo metodo? Solo fattore fuori al lato proprio all'inizio.
Ordini superiori
Alcuni polinomi di ordine superiore possono essere facilmente scomposto utilizzando i metodi di cui sopra, se essi possono essere riscritti in una forma quadratica. Ad esempio, x ^ 4-81 può essere fattorizzato da riconoscendola come la stessa forma come la x ^ 2-9 che è stato fattorizzato sopra.Sostituzione può fare la contabilità più facile, quindi cerchiamo u = x ^ 2.Quindi l'espressione diventa u ^ 2-81.Dà di factoring (u - 9) (u + 9),o (x ^ 2-9) (x ^ 2 + 9).Questa espressione può essere scomposto ulteriormente, utilizzando i metodi di cui sopra, per dare(x - 3) (x + 3) (x - 3i) (x + 3i)