Molte persone hanno visto la più semplice delle equazioni lineari, y = mx + b. Da questo, un intero ramo della matematica ha formato nel corso dei secoli. Equazioni lineari, o soluzioni basato su equazioni lineari, sono intorno a noi ogni giorno - dalle automobili abbiamo drive, per i computer che utilizziamo, per gli edifici che occupiamo. Senza equazioni lineari, ci condurrebbe vite molto più semplice.
Definizione
Un'equazione lineare è uno in cui tutte le variabili sono separate e nessuno di loro ha un esponente diverso da uno. Ad esempio, f(x,y,z) = 2 x + 3xy + z ^ 2 non è un'equazione lineare perché "x" e "y" sono moltiplicati tra loro e "z" ha un esponente di due. D'altra parte, f(x,y,z) = 2 x + 4y + 3z è un'equazione lineare. Per due o tre dimensioni, questa equazione rappresenta una linea retta nello spazio. Per maggiori dimensioni, ancora rappresenta una linea retta, ma solo in senso teorico. Non puoi anche visualizzare una "linea retta" in uno spazio a 10 dimensioni, ma questo è ciò che rappresenta un'equazione lineare variabile di 10.
Sistemi
Risolvere le equazioni lineari multivariabile richiede un po' più di conoscenza che solo una singola equazione. Infatti, per un sistema con "n" variabili, dovrete equazioni "n" con tali variabili al fine di trovare una soluzione. Il metodo più comune di visualizzazione di un sistema di equazioni lineari è con matrici. La matrice dei coefficienti è un "n x n" contenente i coefficienti a tutte le variabili del sistema di equazioni, mentre il vettore di soluzione è solitamente un vettore colonna, o matrice "n x 1", contenente tutte le costanti. Per l'equazione 3 x - 2y + 4z = 12, i coefficienti 3, -2 e 4 sarebbe parte della matrice dei coefficienti e 12 sarebbe parte del vettore soluzione.
Eliminazione
Il metodo più semplice per risolvere un sistema di equazioni lineari è una qualche forma di eliminazione. Il più ben noto metodo di eliminazione è di eliminazione di Gauss. Per fare Gauss eliminazione, si deve aumentare la matrice dei coefficienti con il vettore di soluzione. Questo è solitamente indicato con il "|" simbolo. Per esempio, potrebbe sembrare una fila di abeti aumentata di un sistema di 3 X 3 [2 3 5 | -2]. Eliminazione di Gauss vi darà una soluzione per l'ultima variabile nel sistema. È quindi necessario sostituire la soluzione indietro attraverso le altre righe nella matrice per trovare soluzioni per tutte le altre variabili.
Ortogonalità
Quando due linee si incontrano in due o tre dimensionale spazio ad un angolo di 90 gradi, sono perpendicolari. Queste due linee hanno proprietà speciali legati uno a altro che matematici possono utilizzare in altre soluzioni. Allo stesso modo, anche se non è possibile a immaginartelo, due linee possono incontrare in un 10-dimensionale spazio ad un angolo di 90 gradi. Invece di "perpendicolare", sono "ortogonale". Per scoprire se due righe sono ortogonali, è necessario calcolare il prodotto interno dei vettori formata dalle equazioni. Se il prodotto interno, o "prodotto di puntino," è uguale a zero, le linee sono ortogonali.
L'indipendenza
Un sistema può avere un'unica soluzione solo se tutte le equazioni sono linearmente indipendenti. Indipendenza lineare richiede che nessuna equazione sia una combinazione lineare di altre equazioni o equazione nel sistema. Ad esempio, 6x - 4y + 8z = 10 e 3 x - 2y + 4z = 5 sono linearmente dipendenti, perché la prima equazione è due volte la seconda equazione. Se si esegue l'eliminazione di Gauss su un sistema di equazioni lineari, ogni riga con un zero pivot quando hai finito rappresenta un'equazione dipendente. Tutte le righe con perni numerici sono linearmente indipendenti uno da altro. Se si dispone di un sistema "n x n" e una delle equazioni è linearmente dipendente, non troverete una soluzione per il sistema.