Calcolo può essere utilizzato per trovare una vasta gamma di formule per il volume e la zona, ma gli antichi greci conoscevano le formule per il volume senza usarlo affatto. Hanno trovato le formule per il volume della sfera, cono, piramide e anche per gli oggetti con più di quattro lati.
Piramide a base quadrata
Immaginate una piramide a base quadrata, con una base di zona a × a, decrescente di zona fino a un punto nella parte superiore. Ci sono n strati di altezza h/n. Una piramide di un numero crescente di strati sempre più sottili possa essere costruita in modo che l'altezza rimane complessivamente costante h.
Il volume di una pila di piazze è (dal più grande al più piccolo) la somma di zona volte altezza di ogni livello: a×a×(h/n) + [(n-1)a/n]×[(n-1)a/n]×(h/n) + [(n-2)a/n]×[(n-2)a/n]×(h/n) +... + [a/n]×[a/n]×(h/n) = un × a × h × 1/n [1 + (n-1) ^ 2/n ^ 2 + (n-2) ^ 2/n ^ 2 +... + (1/n)(1/n)]
Si noti che questo può essere scritto come un un × × h di 1/n ^ 3 × [? io ^ 2], dove la somma è uguale a n(n+1)(2n+1)/6, che può essere dimostrato per induzione. Se i livelli diventano più sottili e più sottile, quindi n va all'infinito. È il termine principale di Napoli (2n^3)/(6n^3), che va a 1/3 come n diventa grande.
Così il volume della piramide è un un h/3 × ×.
Principio d'induzione
Che la somma dei quadrati 1 ^ 2 + 2 ^ 2 +... + n ^ 2 è uguale a n(n+1)(2n+1)/6 può essere dimostrata per induzione, vale a dire, dimostrare che la formula vale per n = 1. Poi mostrare che essa detiene per n, se detiene per n + 1. Pertanto essa detiene per tutti gli interi positivi n.
Per n = 1, che detiene l'uguaglianza è banale.
Ora supponiamo che essa detiene per n. Poi 1 ^ 2 + 2 ^ 2 +... + n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 ugualen(n+1)(2n+1)/6 + (n + 1). L'obiettivo è quello di riorganizzare questo nel modulo (n+1)((n+1)+1) ((n + 1) 2 + 1) / 6. Che mostra che se la somma dei quadrati fino a n ^ 2 uguale, n(n+1)(2n+1)/6, allora la stessa uguaglianza vale per n + 1.
n(n+1)(2n+1)/6 + (n + 1) = (2n ^ 3 + 2n ^ 2 + n ^ 2 + n) / 6 + n ^ 2 + 2n + 1 = [(2n^3+3n^2+n)+(6n^2+12n+6)] / 6 = (2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 4n + 3n ^ 2 + 9n + 6) / 6 = (n ^ 2 + 3n + 2)(2n+3)/6 = (n+1)(n+2) ((n + 1) 2 + 1) / 6che doveva essere dimostrato.
Una generalizzazione
Si noti che il volume di una piramide a base quadrata è 1/3 del volume di un blocco di altezza h con base quadrata. La forma della base non influenzare questo risultato. È pertanto un risultato generalizzabile.
Si può dimostrare che una figura con la stessa forma per ogni livello, che convergono in un punto nella parte superiore, è 1/3 del volume di una figura delle stesse dimensioni di forma di altezza e costante a tutte le altezze.
Pertanto, si noti che la formula per un blocco triangolare dei lati un e altezza h è ha ^ 2sqrt 3/4. Una piramide a base triangolare di lati a e altezza h è pertanto ha ^ 2sqrt 3/12.
Inoltre, il volume di un cilindro è pi × raggio ^ 2 × altezza. Il volume di un cono è pertanto pi × raggio ^ 2 × altezza/3.