Come trovare la discontinuità

Per trovare e dimostrare una discontinuità, è utile iniziare con la definizione di continuità. Continuità di f (x) a x 0 significa che, come x converge su x0, f (x) tutti convergono su f(x0). Pertanto, per una discontinuità, non importa quanto vicino x ottiene a x0, c'è qualche x tra cui f (x) è almeno costante c lontano dalla f(x0). La strategia generale è di indovinare e testare un X0 dove f (x) può essere discontinuo. Poi trovare vicini f (x) che non sarà possibile ottenere più vicino di c.

Istruzioni

Trovare e dimostrando e discontinuità in una funzione

• Indovina dove esiste una discontinuità.

Ad esempio, se f (x) = 0 per x < 0 e 1 per non negativo x, un ovvio indovinare da dove c'è una discontinuità è a 0.

Come un esempio meno banale, si supponga che f (x) = 0 per numeri razionali e x per numeri irrazionali. Uno direi che qualsiasi x diverso da zero ha una discontinuità, poiché qualsiasi intervallo continuo, non importa quanto piccola, ha sia razionale e numeri irrazionali.

• Trovare una sequenza di x che converge a x0 senza f (x) che convergono a f(x0).

Ad esempio, nel primo esempio, qualsiasi sequenza di x convergenti dal lato sinistro di x = 0 darà un valore di funzione f (x) = 0, mentre f (0) = 1.

Un esempio di tale sequenza è x =-1/10, -1/100, -1/1000,...

Per quanto riguarda l'esempio non banale, scegli un 0 x diverso da 0. Let's mantenere chiamandolo semplicemente x0, per non perdere di generalità. Se x0 è irrazionale, f(x0) è 0. Poi una sequenza di x può essere creata che convergono su x0, ma per cui f (x) non convergono su X0. Questo è fatto facilmente facendo le x tutte le approssimazioni razionali di x0. Ad esempio, se x è il numero irrazionale pi, la sequenza di x convergente a x0 è 3, 3.1, 3.14, 3.141 3,1415,... Il valore di f (x) per tutti questi di x è 0. Non importa quanto vicino questi x arrivare a 0 x = pi, f (x) non converge a f (x0) = f (pi) = pi.

• Determinare la c, la distanza minima da f(x0) che qualche funzione valore nell'intervallo tra x e X0 avrà come x approcci X0.

Nel primo esempio c = 1, poiché la f (x) erano sempre 1 lontano da f (0) = 0. Nel secondo esempio, la sequenza prodotta valori di funzione di 0 mentre f (x0) = f (pi) = pi. Così c = pi.