Come risolvere la congettura di Poincaré

La congettura di Poincaré, inizialmente proposto come una domanda topografica, fu risolto da Grigori Perelman, dopo quasi un secolo di lavoro dai matematici cercando di risolvere la questione. La congettura di Poincaré affronta la natura delle sfere. Perché la congettura è stato risolto, è ormai considerato un teorema.

Istruzioni

• Definire la differenza tra una 3-sfera e una 3-varietà, come originariamente proposto da Henri Poincaré. Domanda di Poincare era se una 3-varietà con un gruppo fondamentale banale fosse necessariamente una 3-sfera.

• Definire "gruppo fondamentale banale" come la qualità di una sfera dove ogni ciclo disegnata sulla superficie può essere ridotto ad un unico punto.

• Capire il fraseggio originale di Poincaré, che ha chiesto se una varietà compatta 3-dimensionale senza limite potrebbe avere un gruppo fondamentale che era banale (come una 3-sfera) se il collettore non era una 3-sfera.

• Riformulare l'istruzione originale come la congettura di standard, ossia che ogni 3-varietà semplicemente connessa, compatto (senza limite) è omeomorfo alla 3-sfera.

• Risolvere la n = 1 e n = 2 caso della congettura di sapendo che la n = 1 caso è conosciuto per essere banale e la n = 2 caso è conosciuto per essere classica. La n = 3 caso è la congettura originale, si è rivelata di Perelman.

• Utilizzare congettura di geometrizzazione di Thurston per trovare che la soluzione di Perelman alla congettura di Poincaré segue dal risultato. Congettura di Thurston ha mostrato che, dopo aver diviso una 3-varietà nella sua somma connessa e la decomposizione del Toro di Jaco-Pietro Antonio-Johannson, il risultato è che ogni componenti restanti si adatta esattamente una delle 8 geometrie specificati. Problema di Poincaré è un sottoinsieme di Thurston.

Consigli & Avvertenze

  • Capire la congettura di Poincaré è una questione di topografia, in modo che se conoscono bene in algebra e calcolo combinatorio, è possibile applicare tali principi alla topografia per capire la natura della domanda di Poincaré.