L'equazione di Schrödinger è un elemento fondamentale della meccanica quantistica, come lo descrive le dinamiche e le caratteristiche fisiche (come energia e quantità di moto) di una particella quantistica, utilizzando una quantità conosciuta come la funzione d'onda. L'equazione di Schrödinger è un'equazione differenziale parziale, significato che l'equazione descrive come la funzione d'onda cambia nel tempo e spazio. Mentre l'equazione di Schrödinger può essere semplificata per descrivere solo moto attraverso lo spazio (quello che viene chiamato l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo), la soluzione per l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo (che comprende anche il tempo) può dare una descrizione più dettagliata dello stato quantico.
Istruzioni
• Utilizzare la tecnica di separazione delle variabili per separare la funzione d'onda Ψ(x,t) nel prodotto di due funzioni: uno spazio-dipendente e un tempo-dipendente. Questo può essere scritto come:
PSI(x,t) = psi (Phi (t) x).
(dove Psi, psi rappresentano le lettere minuscole versioni delle lettere greche e superiore).
L'equazione di Schrödinger, originariamente scritto come
(pi ih/2) (parziale Psi(x,t) / parziale t) = (-h/2m) [(parziale ^ 2) Psi(x,t) / parziale x ^ 2)] + V(x) Psi(x,t)
(dove "parziale" rappresenta il simbolo di derivata parziale) quindi diventa
(pi ih/2) (parziale [psi (Phi (t) x)] / parziale t) = (-h/2m) [(parziale ^ 2) [psi (Phi (t) x)] / parziale x ^ 2)] + V(x) [psi (Phi (t) x)]
Chiamare questa equazione A.
• Separare il tempo e le componenti spaziali dell'equazione A, quindi ogni componente è su un lato del segno di uguale. Facendo questo dà
(1 / psi(x)) [(-h/2m) (d ^ 2) psi(x) / dx ^ 2) + V(x) psi(x)] = (1 / Phi(t)) [ih (d Phi(t) / dt)].
Chiamare questa equazione B.
• Poiché ogni lato dell'equazione B dipende da una variabile diversa (spazio e tempo, rispettivamente), impostare uguale a una costante, che chiameremo ogni lato dell'equazione E. Questo dà due equazioni separati:
(1 / psi(x)) [(-h/2m) (d ^ 2) psi(x) / dx ^ 2) + V(x) psi(x)] = E
(1 / Phi(t)) [ih (d Phi(x) / dt)] = E.
• Risolvere la versione indipendente dal tempo di equazione B utilizzo conosciuto tecniche per risolvere equazioni differenziali ordinarie. La soluzione dipenderà dalla forma di V(x) potenziale, quindi una soluzione generale C(x) può essere utilizzata come segnaposto, se questo non è immediatamente noto.
• Risolvere la versione dipendente dal tempo equazione dell'equazione B. Questo può essere risolto utilizzando la tecnica di separazione delle variabili per una primo ordine equazione differenziale lineare, che dà la soluzione
Phi (t) = un exp (-iEt / h),
dove A è una costante generale e "exp" è la funzione esponenziale.
• Combinare le soluzioni dalle equazioni tempo-dipendente e indipendente dal tempo. Questo dà la soluzione generale
PSI(x,t) = u(x) exp (-iEt / h),
Qual è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo.
Consigli & Avvertenze
- La funzione u(x) è una combinazione della soluzione generale C(x) e la costante A dalla soluzione dipendente dal tempo.