In matematica, l'interpolazione è il calcolo del valore di una funzione tra valori già conosciuti. La funzione, f (x), è sconosciuto, tranne in determinati valori di x. tra questi valori, f (x) può essere stimato solo. Per fare ciò, altre funzioni possono essere adatta per abbinare i valori noti di f (x) e servire come proxy per stimare f (x) nei punti x dove il suo valore non è noto. Polinomi di Lagrange sono una classe di questo tipo di funzione. L'obiettivo con il Lagrange metodo è quello di trovare, per un dato punto dove f (x) è conosciuto, un polinomio che è uguale a f (x) a quel punto, ma zero presso gli altri punti dove f (x) è noto. L'aggiunta di tutti questi polinomi insieme produce un polinomio che assume i valori noti di f (x) in ogni punto dove è noto, dal momento che ogni polinomio più piccola è pari a zero a tutti i punti di noto f (x) ad eccezione di uno.
Istruzioni
Polinomi di Lagrange
• Determinare il numero di valori della funzione di includere nell'interpolazione.Questo determinerà l'ordine del polinomio di Lagrange per essere utilizzato. Ad esempio, se il valore della funzione f (x), è noto in x-valori consecutivi x1, X2, X3, X4 e X5 e si vuole stimare il valore di f (x) presso alcuni x tra X2 e X4, quindi utilizzando f(x2), f(x3) e f(x4) per produrre un polinomio di Lagrange 2 ° ordine sarebbe ragionevole. L'ordine di un polinomio è quanto in alto gli esponenti di x ottenere. (Ad esempio, x ^ 2 + 2 è un secondo ordine polinomiale e 3 x ^ 3 + 4 x + 1 è il terzo ordine.) Mentre è auspicabile per includere ulteriori dati nel modello di meno, è anche auspicabile per non avere un modello che richiede molti calcoli (ad esempio da essere significativi) che è un grande aumento di lavoro per solo un modesto guadagno possibile in precisione.
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Risolvere per un polinomio che è uguale a f (x) presso uno dei x-valori selezionati nel passaggio 1 e zero presso gli altri x-valori selezionati.
Trovare un tale polinomio per ogni valore di x scelto nel passaggio 1. Il polinomio che fa questo ha la seguente forma. Continuando con l'esempio precedente, p (x) = f(x3)---(x-x2)(x-x4) / [(x3-x2)(x3-x4)] sarà uguale a f(x3) a x 3 e zero quando x = x2 o X4. È possibile dimostrare questo a te stesso solo collegando i numeri e riduzione.
Nota che l'interpolazione usando solo due punti invece di tre produce un'equazione di primo ordine: una linea retta. Nessuna curvatura verrebbero incorporata nell'interpolazione..--il punto è che riducendo le informazioni andando nel modello si riflette nella semplicità delle sue caratteristiche.
Nel diagramma, la linea tratteggiata è una funzione di interpolazione (lineare) di 2 punti. Il punto blu sulla funzione di stima sopravvaluta il punto rosso, il vero valore di f (x). Utilizzando un terzo valore f (x) tra x1 e X2, se era disponibile, avrebbe rimosso il vincolo per essere dritto (lineare) e abbassato la posizione del punto blu.
• Aggiungere i polinomi calcolati nel passaggio 2 per produrre un nuovo polinomio.
Questo nuovo polinomio avrà la proprietà di pari a f (x) in ogni punto utilizzato. Avrà ordine n-1, se n è il numero di punti utilizzati. Esso sarà uguale a f (x) in ogni punto utilizzato. Questo nuovo polinomio è denominato un polinomio di Lagrange. Interpolazione può essere eseguita con esso inserendo valori x tra i valori x utilizzato nell'interpolazione. Il valore del polinomio è una stima, per interpolazione, del valore di f (x).
Consigli & Avvertenze
- Non tutti i punti dati sono incorporati nel metodo di cui sopra. Altre permutazioni sono possibili oltre a X2, X3 e X4 selezionato in precedenza (ad esempio X1, X3 e X5; o tutti loro). Il metodo è anche difficile da programmare. Per il lettore interessato, un algoritmo denominato metodo di Neville si basa sui polinomi di Lagrange ma ottiene intorno a questi problemi e fornisce anche una stima della precisione che è più facile da calcolare rispetto con polinomi di Lagrange. (Vedi i riferimenti).
- Utilizzando una formula di interpolazione per estrapolazione, cioè stima valori f (x) nell'intervallo dei punti utilizzati, è non ciò che questo modello è stato progettato per e in generale non dovrebbe essere fatto. Ad esempio, se x = 0, 5, 10 e 15 sono i punti utilizzati per sviluppare il polinomio di interpolazione, estrapolazione sarebbe quella di utilizzare tale polinomio interpolanti per stimare f (x) a x = 20.