Secondo Math World di Wolfram, la prima soluzione nota a equazione quadratica, x ^ 2 + bx + c = 0, è stato scoperto intorno al 2000 A.C. Tuttavia, la soluzione generale per l'equazione cubica z ^ 3 + a_2z ^ 2 + a_1z + a_0 = 0 (dove * sta per moltiplicazione, l'accento circonflesso ^ si distingue per l'elevamento a potenza e a_1 a_2 sono coefficienti) non fu scoperto fino al 1500. Questo dà qualche indicazione della differenza nella complessità dei due problemi. Per risolvere l'equazione cubica richiede diversi passaggi, ma non è oltre la capacità di chiunque può imparare e usare la soluzione dell'equazione quadratica.
Istruzioni
• Risolvere per Q =(3*a_1–a_2^2)/9, lettura, ad esempio, a_1 come "sub 1."
Ad esempio, se si vuole risolvere per z in z ^ 3 – 3z ^ 2 – z + 3 = 0, si ha Q = – 4/3.
• Risolvere per R =(9a_2*a_1 – 27a_0 – 2a_2^3)/54.
Continuando con l'esempio, R = 0.
• Definire w ^ 3 = R + /? [R ^ 2 – Q ^ 3]. Così avrai due soluzioni per w ^ 3, perché + / – indica che si prende + per una soluzione e – per gli altri. Il segno radicale? qui si applica l'intero quantitativo in parentesi quadre [].
Continuando con l'esempio, w ^ 3 = + / – i*(4/3)^(3/2), dove i è la radice quadrata di -1.
• Mettere w ^ 3 in forma polare così che si può prendere la radice cubica più tardi. La forma polare per un numero complesso è radius*e^(i?), dove e è la base del logaritmo naturale.
Continuando con l'esempio con uno dei valori di w ^ 3, i(4/3)^(3/2) si trova sull'asse y nel piano complesso. Di conseguenza, il suo angolo? deve essere? / 2 radianti. Suo raggio, o la distanza dall'origine, è semplicemente il valore senza la i, poiché non vi è nessun componente reale al fattore in lontananza. Così raggioe^(i?) = [(4/3)^(3/2)]*e^(?i/2).
• Prendere la radice cubica di w ^ 3.
Continuando con l'esempio con uno del valore di w ^ 3, si ottiene? (4/3) e^(?i/6) = ? (4/3) [cos (? / 6) + pecco (? / 6)] =? (4/3) * [? ( 3/4) + i / 2].
• Calcolare p = (3a_1 – a_2 ^ 2) / 3.
Continuando con l'esempio, p = – 4.
• Risolvere per x = w – p/(3w). Ricorda che hai due valori di w di fare questo per.
Continuando con l'esempio con uno dei valori di w, x = w – p/(3w) =? (4/3) [?( 3/4) + i / 2] + (4/3) / [? ( 4/3)[?( 3/4) + i / 2]] = 1 + i /? 3 + (4/3) / (1 + i /? 3). Moltiplicare la parte superiore e inferiore del rapporto sulla destra per (1–i/?3)/(1–i/?3) al fine di moltiplicare il numero complesso nel denominatore. Sottrarre le parti complesse, lasciando x = 2.
• Risolvere per z = x – a_2/3. Questa è la sua soluzione finale per la radice cubica di originale.
Continuando con l'esempio con uno dei valori di w, z = 2 – – (3) / 3 = 3. Questa è una delle soluzioni alla z ^ 3 – 3z ^ 2 – z + 3 = 0, come si può verificare collegando in z = 3.