Come calcolare la funzione esponenziale

Una funzione esponenziale è una costante come la base di un esponente variabile. Ovviamente, quando l'esponente assume un valore intero positivo, la funzione corrisponde semplicemente il prodotto delle basi che molti. Ad esempio, 2 ^ x è 2 x 2 x 2 = 8 quando x = 3. Qui, l'accento circonflesso ^ elevamento a potenza si riferisce. Il calcolo diventa più complesso quando si toglie alcune ipotesi, ad esempio x è un numero intero, o è positivo. Di particolare interesse per gli scienziati e finanziatori è il numero e = 2,718281... Questo numero irrazionale, chiamato "Numero di Eulero", o la base del logaritmo naturale, ha la proprietà interessante che e ^ x ha una pendenza a x che è uguale al valore di e ^ x stesso. Questa funzione descrive processi continui trovati in finanza e fisica, come continuo compounding e decadimento radioattivo.

Istruzioni

Semplici operazioni

• Definire la funzione esponenziale C ^ x, se x < 0, per essere il reciproco del C^(-x). Ad esempio, 2^(-2) è uguale a 1 /(2^2) = 1/4.

• Definire la funzione esponenziale C ^ x essere 1 se x = 0. Ciò ha senso perché, ad esempio, 2 ^ 3 / 2 ^ 3 = 1 e 2 ^ 3 / 2 ^ 3 = 2^(3-3). Pertanto, ha senso definire 2 ^ 0 come 1.

• Definire la funzione esponenziale C ^ x quando x non è intero ma è razionale, come dimostrato in questo esempio. Denotano 2^(3/4) con la lettera E, come segnaposto, poiché è l'ignoto, ma si desidera ancora essere in grado di manipolarla algebricamente. E ^ 4 = 2 ^ 3 = 8. Così risolve per il numero E che, quando elevato alla quarta potenza, è uguale a 8. Potrebbe essere necessario utilizzare un metodo di prova-e-errore dal campo dell'analisi numerica per trovare quel numero E però. Vedere la sezione successiva su come farlo.

Approssimazioni

• Determinare la funzione esponenziale C ^ x quando x è irrazionale di approssimazione, in primo luogo mediante arrotondamento x per un certo numero di cifre.

Ad esempio, si supponga di voler determinare 2 ^ x in x =? 2. La radice quadrata di 2 è 1.4142... Intorno al 1,414.

• Dividere l'esponente arrotondato di un fattore 10 per sbarazzarsi del separatore decimale.

Continuando con l'esempio sopra, 2 ^ 1,414 diventa 2^(1414/1000).

• Impostare la funzione esponenziale con la lettera E. Raise entrambi i lati per una potenza uguale al denominatore dell'esponente. Spostare entrambi i pezzi sullo stesso lato del segno uguale. Definire questa è una nuova funzione. Tenete a mente che si vuole risolvere per E.

Continuando con l'esempio precedente, 2^(1414/1000) = E. Di conseguenza, 2 ^ 1414 = E ^ 1000. Spostare tutti da un lato e rendendolo una nuova funzione: f(E) = 2 ^ 1414 - E ^ 1000 = 0

• Forse ad un valore di E, che si denota E_1. Inserire la spina nella f(E) e vedere qual è il suo segno. Poi trovare valore nelle vicinanze E che dà il segno opposto. Chiamarlo E_2. In realtà non risolvono utilizzando una calcolatrice..--o anche Excel. Non registrano esponenti così in alto. È necessario programmare un computer per farlo.

• Prendere la media di E_1 ed E_2. Chiamarlo E_3. Trovare il segno di f(E_3). E_3 sostituto per cui E_1 e E_2 produce lo stesso segno per f(E).

• Ripetere il passaggio 5 fino ad arrivare a e n come vicino E reale come si desidera. Nel campo dell'analisi numerica, questa procedura di iterazione viene chiamata il metodo di bisezione.

Consigli & Avvertenze

  • Una delle proprietà di una funzione esponenziale con una base positiva è che è sempre positivo, per tutti i valori di x. Così ci si potrebbe chiedere che cosa condizioni farà una funzione esponenziale negativa — in particolare, quello che il grafico di una funzione esponenziale con base negativa sembra. Si può dimostrare che tale funzione, come (-3) ^ x, è discontinua in ogni punto (a cui può essere definito), rimbalzare avanti e indietro tra l'essere negativi e positivi come x le modifiche. (Rif. 1)