Funzioni di Bessel sono cilindricamente simmetriche soluzioni di un'equazione differenziale di secondo ordine chiamato l'equazione di Bessel, che può essere scritta come:
(z^2)*F''(z) + z*F'(z) - (z^2 + n^2)*F(z)=0;
dove F' si intende la derivata prima della funzione F rispetto a z e F ' è la derivata seconda. Equazioni differenziali di questo rappresentano sorta una varietà di problemi fisici, tra cui lo scattering di particelle nucleari, trasmissione attraverso una fibra ottica e la conduzione di calore della luce. Ci sono diversi tipi di funzioni di Bessel. I due che la maggior parte comunemente rappresentano le soluzioni a problemi fisici sono le funzioni di Bessel del primo tipo e le funzioni di Bessel sferiche.
Istruzioni
Trovare le funzioni di Bessel
• Funzioni di Bessel del primo tipo possono essere espressa dalla serie infinita
J_nu(x)=((x/2)^2)*Sum_[k=0,infinity]{((-1)^k)*([(x^2)/4]^k)/[k!Gamma(k+nu+1)]}
In alternativa, di nu integer, le funzioni di Bessel possono essere data dall'integrale
J_nu(x)=(1/pi)*Integral_[0, pi] {cos(nu*tau - x*sin(tau))d-tau}•
In alternativa, i valori numerici e le formule di interpolazione per le funzioni di Bessel possono essere trovate in molti libri di tavole matematiche, alcuni disponibili on-line, come Briggs e "Tabella di the funzioni di Bessel" di Lowan, sponsorizzato dal National Bureau of Standards e pubblicato nel 1943 dalla Columbia University Press.
Ci sono anche polinomiale approssimazioni per le funzioni di Bessel, che possono essere trovate in testi come Abramowitz e di Stegun manuale di funzioni matematiche. Ad esempio, J_0(x) per -3 < x < 3 può essere approssimata da
J_0(x)=1 - 2.250*(x/3)^2 + 1.266*(x/3)^4 - .317*(x/3)^6 + .044*(x/3)^8 - .004*(x/3)^10 +...•
Di gran lunga il metodo più semplice di ottenere valori della Bessel funzioni e li utilizzano per rappresentare soluzioni a problemi fisici consiste nell'utilizzare le funzioni di libreria incorporata che vengono con i pacchetti di software matematico. Naturalmente tali pacchetti come Mathematica, Matlab, Mathcad e altri software di matematica dedicato hanno Bessel funzioni built-in, ma ancora più rudimentale pacchetti ora hanno spesso funzioni di Bessel come parte della loro biblioteca. Ad esempio, l'utilità di "Grapher" che viene fornito con OS X di Apple ha una built-in funzione di Bessel.
Ricordate, non c'è più di un tipo di funzione di Bessel, quindi fate attenzione a verificare che si sta utilizzando la funzione incorporata che pensi che stai usando.
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Funzioni di Bessel sferiche
C'è una speciale classe di funzioni di Bessel che rappresentano la soluzione ai problemi con simmetria sferica. In particolare, le funzioni di Bessel sferiche rappresentano la parte radiale della funzione d'onda per gli elettroni che orbitano attorno un nucleo.
j_0(kr)=sin(kr)
j_1(kr)=sin(kr)/(kr)^2 - cos(kr)/kr
j_2(kr)=3*sin(kr)/(kr)^3 - 3*cos(kr)/(kr)^2 -sin(kr)/kr
Le funzioni di Bessel sferiche possono tutti essere generate in da j_0(kr) dalla relazione
j_p(kr)=(-r/k)^p * ((1/r)(d/dr))^p j_0(kr)
Come funzioni di Bessel del primo tipo, funzioni di Bessel sferiche sono inclusi nel pacchetto di matematica e possono essere trovate nelle tabelle matematiche pure.