Quando un vettore è definito, la direzione non si esplica necessariamente. La sua lunghezza può essere conosciuto, ma non la sua direzione. Ad esempio, il vettore (1,1) indica chiaramente ad un angolo di 45 gradi dall'asse x, anche se questo non è esplicitato nel vettore stesso.
Allo stesso modo, un foglio tridimensionale può essere specificato da una funzione, F(x,y,z) = costante, ma la direzione di normalità o di discesa più ripida non sarebbe esplicito, ma invece deve essere calcolato dalla funzione.
Istruzioni
Vettore bidimensionale
• Determinare il componente x e y del vettore di interesse.
• Disegnare un diagramma con la coda del vettore all'origine, in modo che angolo "theta" rappresenta l'angolo del vettore rispetto all'asse x positivo.
• Risolvere tan(theta) = y / x. Questo può essere fatto facilmente con una calcolatrice inserendo y / x, poi prendendo la tangente inversa (cioè, l'arcotangente).
Tridimensionale vettoriale
• Determinare la x, y e z-componente del vettore.
• Risolvere per il prodotto vettoriale del vettore con l'asse x per ottenere nuovamente l'angolo dall'asse x. In particolare, (x, y, z)---(1.0.0) = (0, z,-y). (Questo può essere verificato facilmente con qualsiasi libro di testo che include le operazioni di base vettoriale.)
• Risolvere per la lunghezza del prodotto incrociato. In particolare, applicare il teorema di Pitagora per (0, z,-y). √ [0 ^ 2 + z ^ 2 + (-y) ^ 2] è la soluzione per la lunghezza del prodotto incrociato.
• Risolvere per l'angolo tra il vettore e l'asse x (cioè per theta), utilizzando il fatto che la lunghezza del prodotto incrociato è anche uguale a (lunghezza del vettore) volte (lunghezza del vettore unitario lungo asse x) volte riscritte. Questo angolo è la direzione del vettore rispetto all'asse x. Angolazioni rispetto agli altri assi possono essere trovati in un modo simile.
Vettore normale
• Determinare F, tale che la superficie è descritta da F(x,y,z) = 0.
• Risolvere per la sfumatura di F. in particolare, la sfumatura è il vettore con le derivate parziali di F come componenti, che è (∂/∂, ∂/∂y, ∂/∂z). Per chi non ha dimestichezza con i partials, essi sono derivati rispetto a una variabile, gli altri tenendo costante. Ad esempio, se F(x,y,z) = x + 3y + zx, quindi ∂/∂ = 1 + z e ∂/∂y = 3. Questo vettore è il vettore normale.
• Nota che per il caso speciale di un aereo, ax + by + cz = 0 ha un vettore normale (a, b, c).
Direzione di aumento più ripido
• Determinare la funzione f tale che la superficie è descritta non da un'equazione F(x,y,z) = 0 ma invece con la funzione f.
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Risolvere per la sfumatura di f, cioè (∂/∂ ∂/∂y), dove ∂ si riferisce a derivate parziali, come spiegato in precedenza. Questo vettore indica la direzione, nel piano x-y, del più ripido aumento del valore di f in (x, y).
• Si noti che questo vettore è nel piano x-y, non sulla superficie stessa.
Consigli & Avvertenze
- Il gradiente di una funzione bidimensionale è effettivamente la stessa risoluzione per un vettore normale a (x, y) su una curva nel piano x-y. L'impostazione f su una costante può essere considerata visivamente isobare sulla mappa meteo. Le tre variabili della variazione di pressione da x e y sono rappresentati bidimensionalmente disegnando linee attraverso punti di valore costante f. La normale ad uno di questi punti di isobare verso il centro di un sistema ad alta pressione o bassa pressione. Il gradiente pertanto è rivolto nella direzione di massima pendenza. Così in entrambi gli usi del gradiente sopra, vale a dire, f = costante e F(x,y,z) = costante, la sfumatura viene utilizzata allo stesso modo..--per trovare il vettore normale. Come può questo essere, se entrambi rappresentano superfici 3D? f rappresenta una superficie 3D, ma f = costante non non.